Extremum

40 Dérivée itérée 41 Formule de Leibniz 42 Quelques applications de la dérivabilité Etude du sens de variation d’une fonction 43 Exemples 44 Recherche d’extremums (Définitions) 45 Unicité 46 Condition suffisante pour l’existence d’un extremum local 47 Mises en garde 48 Etude de concavité 49 Utilisation de la dérivée seconde 50 Exemples 51 Point d’inflexion 52 Exemple 53 Mise en garde 54 Quelques théorèmes fondamentaux en analyse de fonctions numériques de la variable réelle

dérivée d'une fonction de la forme U est égale à U′ 2U Exemple  La dérivée de f  x =  5 x −7 est f ′  x = - 5 2  5 x−7 On pose U  x =5 x −7 donc U ′  x =5 11 III - Sens de variation Sens de variation Extremum III 13 14 A. Sens de variation 1. Sens de variation d'une fonction Définition    Si f'(x) est positive sur un intervalle I, alors la fonction f(x) est strictement croissante sur cet intervalle. Si f'(x) est négative sur un intervalle

3( x 2 − 2 x + 1) = 3 ( x − 1) , f’ s’annule pour x1 = 1 Nous pouvons établir le tableau des variations de la fonction f. x 1 −∞ f’(x) + 0 + f(x) Sur IR, la dérivée s’annule pour n’admet pas un extremum sur IR. ∞ x1 = 1 mais f’(x) ≥ 0 pour tout réel x f 2. Une fonction peut admettre un extremum sans être nécessairement dérivable, en effet : considérons la fonction f définie sur IR par 0f ( x ) n’est pas dérivable en 1. = x −1 +1 . f est une fonction affine par morceaux, f admet un

|+ ( | | | | | |[pic] | | | 5. La dérivée s’annule en changeant de signe pour [pic] la fonction admet donc un extremum en ce point. D’autre part pour [pic] nous avons [pic] Donc la fonction f admet un minimum en [pic] de valeur [pic] . La fonction f n’admet pas de maximum. 6. La tangente Τ à la courbe Cf est parallèle à la droite d’équation y = 1 ( 2 x, alors

croissante, strictement décroissante, strictement monotone, sur I . • Extrémum – f admet un maximum (resp. minimum) global en x0 ∈ D f si : ∀x ∈ D f f (x) f (x0 ) (resp. f (x) f (x0 )). – f admet un maximum (resp. minimum) local en x0 ∈ D f , s'il existe un intervalle ouvert I contenant x0 , tel que : ∀x ∈ I ∩ D f f (x) f (x0 ) (resp. f (x) f (x0 )). Un maximum ou un minimum local est dit extrémum local en x0 . Un extrémum est un maximum ou un minimum. • Fonction lipschitzienne f est

e<1 : une variation relative de x entraine une variation relative faible de f : f est relativement inélastique ; e=1 : f sera dite d’élasticité unitaire ;  e=0 : f sera dite parfaitement inélastique.  Fiche synthèse: Optimisation Extremums libres : f est une fonction à plusieurs variables (ici 2 variables ) : on cherchera les couples (x,y) qui rendent maximale la fonction f (la fonction objectif : un bénéfice par exemple). Conditions nécessaires : ces couples lorsq’ils existent

(1 − α)y). Interprétation géométrique ? Indication Correction [000724] y−x < y. ln y − ln x 3 Divers Exercice 9 Déterminer les extremums de f (x) = x4 − x3 + 1 sur R. Correction [000733] Exercice 10 Soit f : R −→ R définie par f (x) = (1 − k)3 x2 + (1 + k)x3 où k est un nombre réel. Déterminer les valeurs de k pour lesquelles l’origine est un extremum local de f . Correction [000728] Exercice 11 Soient f , g : [a, b] −→ R deux fonctions continues sur [a, b] (a < b) et dérivables

3. Extremum La courbe représentative de f est une parabole qui admet un axe de symétrie parallèle à l’axe des ordonnées. Définition : Le point de la courbe qui correspond au maximum ou au minimum est appelé le sommet de la parabole. Exemple : La fonction f définie sur ℝ par admet un maximum. En effet, le coefficient devant x2 est négatif, f est d’abord croissante, puis décroissante. Propriété : Soit f une fonction polynôme de degré 2, telle que. Alors f admet un extremum pour

|B | |La variation de ce seul coefficient déplace l’axe de symétrie de la parabole. |A | C. Variations et extremums. 1) Placer les curseurs a, b et c tels que a < 0 ; 2) Recopier : f(x) = -0.5x²+2.5x+1.5 3) Donner le sens de la fonction f ainsi définie sur un intervalle choisi ou la représentation de f est visible. 4) Compléter

On peut dire : f admet un maximum égal à y = 5° en x = 6 Minimum : La température minimale est égale à -3°. Elle a lieu le 13 janvier donc f(13) = -3. On peut dire : f admet un maximum égal à y = -3° en x = 13 Synthèse : Quand on demande un extremum (maximum ou minimum), on demande un y. Ce qui est intéressant, c’est de savoir quand il se produit. On demande alors x. Résoudre f(x) = 3° On se demande quand la température y vaut 3°. On cherche des dates, soit des x. On peut tracer la droite