Extremum

faire remarquer que la fonction carré n’est pas linéaire. Fonctions polynômes de degré ƒ Connaître les variations des fonctions polynômes de Les résultats concernant les variations des fonctions 2. degré 2 (monotonie, extremum) et la propriété de polynômes de degré 2 (monotonie, extremum) et la symétrie de leurs courbes. propriété de symétrie de leurs courbes sont donnés en classe et connus des élèves, mais peuvent être partiellement ou totalement admis. Savoir mettre sous forme canonique un polynôme

d'une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ITQ  MEA/IAE iii 3.6.1 33 3.6.2 Extremum global : convexité et concavité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.6.3 3.7 Extremums locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Méthodes pratiques pour déterminer les extremums d'une fonction . . . . . . . . . 34 Construction de la courbe représentative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2ème ligne, les variations et ordonnées/images 1. Compléter les flèches de variations 2. Compléter les abscisses en bout de flèches, Df déterminant l'encadrement des x 3. Compléter les ordonnées en bout de flèches Tableau de variations de f Extremum de f M maximum sur I de f en a   x  I, f(x) ≤ f(a) = M m minimum sur I de f en b   x  I, f(x) ≥ f(b) = m f positive sur I  Cf est au-dessus de (Ox) f négative sur I  Cf est en-dessous de (Ox) f positive sur [a ; b]  pour tout x, f(x)

les fonctions suivantes sont des fonctions polynômes de degré 2 et préciser les coefficients a, b et c tels que . a. b. c. d. voir le corrigé Exercice 20 La fonction est une fonction polynôme de degré 2. On sait de plus qu'elle admet un extremum en et que . 1. Quelles informations peut-on déduire de l'énoncé sur la courbe représentative de ? 2. Un réel différent de a aussi pour image . Lequel ? voir le corrigé Exercice 21 La fonction est une fonction polynôme de degré 2. On sait

I, alors pour tout x de I, on a f'(x) ≤ 0 si f est constante sur I, alors pour tout x de I, on a f'(x) = 0 Théorème f est une fonction dérivable sur [ a, b ] et x₀ ₤ ] a, b [ Si en x₀, f'(x) s'annule en changeant de signe, alors f admet un extremum local en x₀. X a x₀ b f'(x) - 0 + f(x) f(x₀) f admet un minimum local en x₀ qui est f'(x₀) x a x₀ b f'(x) + 0 - f(x) f(x₀) f admet un maximum local en x₀ qui est f(x₀) Remarque Au point

est strictement décroissante sur I. BLes extremum locaux d'une fonction Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I : si f admet un extremum local en un réel a de I, alors f′(a)=0. Si f′ s'annule en changeant de signe en a, alors f(a) est un extremum local de f. f′ peut s'annuler en un réel a (en ne changeant pas de signe) sans que f admette un extremum local en a. C'est par exemple le cas de la fonction cube en 0. Si f admet un extremum local en a, alors sa courbe représentative

|1,5 |2 |2,5 | |F(x) |9 |4 |3 |4 |6 |9 | 5. la fonction admet elle un extremum ? si oui précisez sa nature et ses coordonnées Réponse 1. ==) 2x2x+3=4x+3 2. ==) 4x-3=0 =3/4 3. ==) tableau de variation |x |-1 3/4

Optimisation Libre d’une Fonction. I. FONCTION D’UNE VARIABLE A. Extremum sur un intervalle fermé et borné. Ce n’est pas une recherche locale mais sur un intervalle réel I = [a;b] pour des fonctions continues. 1.Théorème de WEIERSTRASS ” Si une fonction f de R dans R est continue sur un intervalle fermé et borné [a;b] alors f atteint un maximum et un minimum sur cet intervalle ” 2. Méthode pratique de recherche d’un extremum sur un intervalle fermé et borné ( pour une fonction f dérivable

c’ tels que X soit barycentre de [(A ; a’) ; (C ; c’)]. (0,5 point) PROBLÈME (11 points) commun à tous les candidats Soit la fonction numérique f définie sur ]0 ; + ([ par [pic]. Partie A - Recherche graphique d’un extremum L’observation de la courbe représentative de la fonction f sur l’écran graphique d’une calculatrice donne à penser que f admet un minimum sur l’intervalle [0,5 ; 2]. [pic] On se propose d’en donner une valeur approchée. Observer ci-dessous la

x où f ' s'annule, alors f est strictement décroissante sur I. Remarque : Différence entre les deux propriétés. f est une fonction définie sur [a;b], avec f ' (x )≥0 . f ' ( x)> 0 f ' ( x)> 0 sauf en un nombre fini de f ' ( x)≥0 points II) Extremums d'une fonction Définition 1 : Soit f une fonction définie sur un intervalle I de ℝ et x 0 dans I, alors f (x 0 ) est un maximum local de f sur I s'il existe J inclus dans I et contenant x 0 tel que, pour tout x de J, • f ( x)≤ f ( x0 ) f (x 0 ) est