Fonction exponentielle

de panne Temps entre pannes en heures N° de panne 400 140 300 220 440 530 620 710 850 1200 1000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 400 230 330 720 635 1 2 3 4 5 En admettant que l’on a des lois de Weibull : Tracer les 2 fonctions de répartition sur papier Weibull en utilisant les rangs médians Déduire pour chaque loi, les paramètres de Weibull Calculer les MTBF Définir les périodes d’intervention systématique si on souhaite un fonctionnement avec une fiabilité de 95%

| |Aspects juridiques, socio- |O2 Services est une société de service à la personne qui connait une croissance exponentielle depuis sa création en| |Économiques, organisationnelles, |1996.Présents sur l’ensemble du territoire français O2 Services propose des services à domicile tels que le ménage,| |mercatiques. |le repassage, la garde

variables al´atoires e Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Variables al´atoires . . . . . . . . . . . . . . . . . e Probabilit´ image et loi d’une variable al´atoire . e e Cas des variables al´atoires r´elles . . . . . . . . e e 3.4.1 Fonction de r´partition . . . . . . . . . . e 3.5 Lois discr`tes et lois continues . . . . . . . . . . . e 3.5.1 Lois discr`tes . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.5.2 Lois continues . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Les lois usuelles au programme . .

t = 0 . si α < 0, lim t α = 0 t → +∞ t →0 si α < 0, lim t α = +∞ t →0 Si α > 0, lim t α = +∞ ; Croissances comparées à l'infini Si α > 0, lim et ln t t → +∞ t α = +∞ =0 Si α > 0, lim t → +∞ t α b) Dérivées et primitives : Fonctions usuelles f (t ) ln t et t α (α ∈ IR*) Opérations f ′(t ) 1 t et α t α −1 (u + v )′ = u ′ + v′ (k u )′ = k u ′ (uv )′ = u ′ v + u v′ ′ u′ 1   =− 2 u  u ′ u ′ v − u v′ u   = v v2 Formulaire de mathématiques (v u )′ = (v′ u

degr´es de libert´e est donn´e par { k 1 −1 −x/2 2 e si x > 0 k/2 Γ(k/2) x 2 fk (x) = 0 si x ≤ 0. En ´etudiant le comportement de la d´eriv´ee de la fonction fk (x), on note que (i) f1 (x) est strictement d´ecroissante et limx→0+ fk (x) = ∞ ; (ii) f2 (x) est strictement d´ecroissante et limx→0+ fk (x) = 1/2 ; en fait, f2 (x) est simplement la loi exponentielle avec param`etre λ = 1/2 ; (iii) si k > 2, alors fk (x) est une densit´e unimodale et limx→0+ fk (x) = 0. Dans le cas o` u k > 2, obtenez la valeur

de panne Temps entre pannes en heures N° de panne 400 140 300 220 440 530 620 710 850 1200 1000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 400 230 330 720 635 1 2 3 4 5 En admettant que l’on a des lois de Weibull : Tracer les 2 fonctions de répartition sur papier Weibull en utilisant les rangs médians Déduire pour chaque loi, les paramètres de Weibull Calculer les MTBF Définir les périodes d’intervention systématique si on souhaite un fonctionnement avec une fiabilité de 95%

corrigé de l’exercice 2.16. Remarque. Parmi les lois à densité que nous verrons au chapitre suivant, la loi exponentielle est la seule à posséder cette propriété. Rien d’étonnant dans cette histoire : de même qu’une suite géométrique peut être considérée comme la version discrète d’une fonction exponentielle, la loi géométrique peut être vue comme la discrétisation en temps de la loi exponentielle (voir exercice 3.16). Les lois géométriques possèdent une autre propriété remarquable, à savoir leur stabilité

Binomiale Loi de Poisson Loi Géométrique Loi Hyper-géométrique Loi Uniforme Loi de Pareto Loi exponentielle Loi Normale Loi log-Normale Autres lois issues de la loi Normale Echantillonage Population Echantillon Chapitre 1 : Notions, Propriétés et règles Le chapitre comporte 3 sections : Définitions de la notion de probabilité, Probabilité totales, Fonction de probabilité conditionnelles et Notion d'indépendance. I Définition de la notion de probabilité

α > 0, lim tα ln t = 0. t→0 t→−∞ lim et = 0 Si α > 0, lim tα = +∞ ; si α < 0, lim tα = 0 t→+∞ t→+∞ Croissances compar´es ` l’infini e a Si α > 0, lim Si α > 0, lim et = +∞ t→+∞ tα ln t =0 tα t→+∞ b. D´riv´es et primitives e e Fonctions usuelles f (t) f (t) ln t et tα (α ∈ R) sin t cos t 1 t f (t) tan t Arc sin t f (t) 1 = 1 + tan2 t cos2 t 1 √ 1 − t2 1 1 + t2 aeat et αtα−1 cos t -sin t Arc tan t eat (a ∈ R) Op´rations e (u + v) = u + v (ku) = ku (uv) = u v + uv (ln

espace probabilisé (Ω, A, P) et qui suit la loi exponentielle de paramètre λ (avec λ > 0). On note F sa fonction de répartition. On pose X1 = ⎣ X ⎦ , X2 = ⎣ 10( X − X 1 )⎦ et l’on admet que X1 et X2 sont des variables aléatoires définies elles aussi sur (Ω, A, P). 1) a) Déterminer X1(Ω). b) Pour tout k de X1(Ω), exprimer P(X1 = k) à l’aide de F. c) En déduire que X1 + 1 suit une loi géométrique dont on donnera le paramètre. d) Déterminer E(X1) en fonction de λ. 2) a) Déterminer X2(Ω) et dire ce que