Fonction holomorphe

CHAPITRE 1 Fonctions analytiques Les principaux résultats à retenir : soit    f est analytique sur U U un ouvert de si et seulement si f C et f : U → C. est développable en série entière au voisinage de chaque point de U . Théorème des zéros isolés : les zéros d'une fonction analytique f sur un domaine U sont isolés ou bien la fonction f est nulle. Théorème du prolongement analytique : deux fonctions analytiques qui coïncident sur un sous-ensemble

´ Exercices - Residus - Application au calcul ´ d’integrales : ´nonc´ e e Exercice 1 - Calculs de r´sidus - L3/M1 e Calculer les r´sidus aux singularit´s isol´es des fonctions suivantes : e e e f (z) = z2 + z + 1 , z(z 2 + 1)2 g(z) = za , 1−z h(z) = log(z). sin 1 . z−1 On prendra la d´termination principale des fonctions z → z a et z → log(z). e Exercice 2 - Fraction rationnelle - L3/M1 +∞ dx e 1. Soit n ≥ 2 entier. Calculer I = 0 1+xn . On pourra int´grer sur le bord du compact iθ ; 0 ≤

Exercice 2 - - L3/M1 On peut paramétrer l’arc de cercle par z = 2eit , 0 ≤ t ≤ π. Il vient π/2 I= 0 (4e2it + 6eit )2ieit dt = −8 44 i− , 3 3 après un petit calcul... Une autre façon de procéder est de remarquer que, dans l’ouvert C, la fonction z → z 2 + 3z admet une primitive, égale à F : z → z 3 /3 + 3z 2 /2. On a alors, et ceci ne dépend en fait pas du chemin suivi : I = F (2) − F (2i). Bien sûr, on doit trouver le même résultat ! Exercice 3 - Indice d’une ellipse - L3/M1 On va construite

Intégrale à paramètre   Supposons que f soit une fonction de deux variables définies sur I×J, où I et J sont des intervalles, à valeurs dans R. On peut alors intégrer f par rapport à une variable, par exemple la seconde, sur l'intervalle J. On obtient une valeur qui dépend de la première variable. Plus précisément, on définit une fonction F sur I par On dit que la fonction F est une intégrale dépendant du paramètre x. On parle plus communément d'intégrale à paramètre. Bien sûr, on ne peut

soit holomorphe sur U ? a Exercice 2 - Fonctions holomorphes ` valeurs r´elles - L3/M1 a e Soit Ω un ouvert connexe et f une fonction holomorphe dans Ω. On ´crit f = u + iv, o` u e u et v sont ` valeurs r´elles. Montrer que les propositions suivantes sont ´quivalentes : a e e (i) f est constante ; (ii) u est constante ; (iii) v est constante ; ¯ (iv) f est holomorphe ; (v) |f | est constante. Exercice 3 - Parties r´elles et imaginaires harmoniques - L3/M1 e Soit f = u + iv une fonction holomorphe

Introduction La théorie des fonctions analytiques a vu le jour avec Augustin-Louis CAUCHY (1789-1857), Bernhard RIEMANN (1826-1866) et Karl WEIERSTRASS (1815-1897). Avec des points de vue différents, ils nous offrent trois approches dont nous pouvons combiner les actions. Cauchy, le précurseur, définit une fonction analytique comme une fonction de variables complexes qui admet en chaque point une dérivée continue. Il a en outre établi qu’une telle fonction peut être représentée par une formule

Inspiré de [?] 1. Fonctions méromorphes et séries de Laurent 1.1. Zéros et pôles. Proposition 1.1. soit U un ouvert, z0 ∈ U , et f ∈ H (U \ {z0 }). On est alors nécessairement dans un des cas suivants : (1) la fonction f peut être prolongée en z0 par continuité et dans ce cas, ˜ le prolongement vérie f ∈ H (U). z0 est une singularité éliminable ou articielle (2) (3) Il existe un entier m tel que g (z) = (z − z0 )m f (z) se prolonge en z0 en une fonction holomorphe sur U . On dit dans

management opérationnel | | |- La performance | |Pré-requis |Les fonctions du management en STG | |Objectif pédagogique |Utiliser la méthode du cas pratique pour aborder les notions du thème. | |Supports exploités

l'argument no_index_col est égal à 1, la fonction renvoie la valeur dans la première colonne de l'argument table_matrice ; si l'argument no_index_col est égal à 2, la valeur est renvoyée dans la deuxième colonne de l'argument table_matrice, et ainsi de suite. ▪ valeur_proche , par défaut FAUX, la fonction RECHERCHEV renvoie exactement la valeur recherchée. Si aucune valeur ne correspond, la valeur d'erreur #N/A est renvoyée. Notes • Si la fonction RECHERCHEV ne peut trouver l'argument valeur_cherchée

l'auteur fait une énumérationde toutes les activités que l'on peut avoir dans un lieu habité comme dormir, manger, travailler, cuisiner... Sont ensuite évoquées les fonctions annexes car 2% de la surface d'une habitation estdédiée aux rangements. Un paragraphe entier retraite des zones de circulation. L'auteur parle ici des autres fonctions que peuvent avoir ces zones comme par exemple canaliser le bruit. Pour finir, onaborde les typologies de bâtiments. En premier lieu les maisons puis les immeubles