Théorème des résidus

CHAPITRE 4 Théorème des Résidus 4.1 Résidus Définition 4.1.1 Soit f : C −→ C une fonction analytique au point z0 , et C = z ∈ C 0 < |z − z0 | < r (Disque troué). On appelle résidu de f au point z0 , le cœfficient a−1 du développement de Laurent de f au voisinage de z0 . Ce nombre est noté Res( f, z0) Remarque : Soit f (z) = ∞ n=−∞ an (z − z0 )n = · · · + a−1 a−2 + + a0 + a1 (z − z0 ) + a2 (z − z0 )2 + · · · 2 (z − z0 ) (z − z0 ) le développement de Laurent de f au voisinage

. . . . . . . . . . . 75 Corrigés des problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Table des matières CHAPITRE 4 • INTÉGRALES COMPLEXES ; THÉORÈME DES RÉSIDUS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Rappels de cours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Énoncés des problèmes . . . .

CHAPITRE 1 Théorème des résidus et applications Inspiré de [?] 1. Fonctions méromorphes et séries de Laurent 1.1. Zéros et pôles. Proposition 1.1. soit U un ouvert, z0 ∈ U , et f ∈ H (U \ {z0 }). On est alors nécessairement dans un des cas suivants : (1) la fonction f peut être prolongée en z0 par continuité et dans ce cas, ˜ le prolongement vérie f ∈ H (U). z0 est une singularité éliminable ou articielle (2) (3) Il existe un entier m tel que g (z) = (z − z0 )m f (z) se prolonge en

courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2.1 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.3 Théorèmes de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.3.1 Domaines simplement ou multiplement connexes . . . . . . . . . . . . . . 30 3.3.2 Théorème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.3.3 Primitives et intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

valeurs interm´diaires). Celle propos´e ici est la moins alg´brique de toutes, et aussi la plus e e e e e e courte. On en trouvera quatre, dont la « nˆtre » est la plus courte, sur une seule des pages de [Rem91]. o ´ ` II.3. LES GRANDS THEOREMES SUR LES FONCTIONS HOLOMORPHES 37 D´monstration. Supposons que P soit un polynˆme sans racine. Alors 1/P est une fonction enti`re. e o e Montrons qu’elle est born´e. Si n est le degr´ de P , on a e e an−1 a0 P (z) = z n an + + ···

Exercices - Conditions de Cauchy-Riemann : ´nonc´ e e Exercice 1 - R-diff´rentiable - L3/M1 e Pour z = x + iy, on pose f (z) = x + iy 2 . 1. Prouver que f est R-diff´rentiable sur C. D´terminer la diff´rentielle de f . e e e 2. En quels points f est-elle C-diff´rentiable ? Existe-t-il un ouvert non vide U de C tel que e la restriction de f ` U soit holomorphe sur U ? a Exercice 2 - Fonctions holomorphes ` valeurs r´elles - L3/M1 a e Soit Ω un ouvert connexe et f une fonction holomorphe dans Ω.

simple Soit un échantillon f(xi ; yi ) : i = 1; :::; N g. Les estimateurs des MCO, ^ 0 et ^ , sont obtenus par la minimisation du carré des résidus: 1 min N X i=1 ^ ;^ 0 1 (yi ^0 ^ 1 xi )2 ; où le résidu des MCO pour l’ observation i est dé…ni par ui = y i ^ ^0 ^ xi : 1 Donc, les estimateurs des MCO sont ceux qui minimisent le carré des résidus. Les conditions de premier ordre sont: N X (yi ^ ^ 0 ^ xi ) = 0 1 ^ xi ) = 0 1 i=1 N X i=1 xi (yi 0 La première équation

admet deux pôles d’ordre 2 chacun qui zont z1 = ia et z2 = −ia. Pour R &gt; a, seul le pôle z1 est à l’intérieur du contour fermé ΓR. Puisque z1 est un pôle double, le résidu de la fonction v en ce pôle est donné par : Res (v, ia) = lim z→ia d dz ( (z − ia)2v(z) ) = lim z→ia d dz ( zeiz (z + ia)2 ) = e−a 4a Le théorème des résidus entraîne alors que : ˆ Γ+ R v(z) dz = 2πiRes (v, ia) = −πe −a 2a i (5)9 D’un autre côté, on a : ˆ Γ+ R v(z) dz = ˆ R −R v(x) dx+ ˆ γ+R v(z) dz (6) Dans cette égalité, on

Disquisitiones Arithmeticae (recherches arithmétiques), qui a été financé par le Duc sous condition. Gauss devait en effet soutenir une thèse en échange, ce qu’il a fait l’année d’après avec comme sujet la première démonstration du Théorème Fondamental de l’Algèbre. Au-delà des mathématiques, Gauss s’intéressait également à l’astronomie et à la physique. En 1802, il calcule l’orbite du premier astéroïde, nommé Cérès, plus rapidement que de nombreux astronomes. Trois mois plus

Pour la résolution de système linéaire de la forme :, le système devient On résout le système (1) pour trouver le vecteur , puis le système (2) pour trouver le vecteur . La résolution est facilitée par la forme triangulaire des matrices. Théorèmes  Si admet une décomposition , alors celle-ci est unique.   admet une décomposition si, et seulement si, ses mineurs principaux sont non nuls (le mineur principal d’ordre de désigne le déterminant de la matrice obtenue à partir de A en extrayant