Fonction linéaire

inversible et exprimer A−1 . Exercice 18 [ 01262 ] [correction] Soit A ∈ Mn (K) telle que la matrice I + A soit inversible. On pose B = (I − A)(I + A)−1 . a) Montrer que B = (I + A)−1 (I − A). b) Montrer que I + B est inversible et exprimer A en fonction de B. Exercice 19 [ 03420 ] [correction] Soient A, B, C ∈ Mn (K) (n 2) non nulles vérifiant ABC = On Exercice 14 [ 01258 ] [correction] [Matrice à diagonale strictement dominante] Soit A = (ai,j ) ∈ Mn (C) telle que ∀1 i |ai,j | < |ai

Arithm´tique dans Z et K[X] e R´duction des endomorphismes e Espaces vectoriels norm´s e Calcul diff´rentiel e Dualit´ e Coniques-Quadriques Espaces vectoriels euclidiens Int´gration vectorielle e S´ries dans un Banach e Suites et s´ries de fonctions e S´ries enti`res et fonctions holomorphes e e Int´grale d´pendant d’un param`tre e e e S´ries de Fourier e ´ Equations diff´rentielles e Courbes et surfaces Int´grales multiples e Formes diff´rentielles e Page 1 Page 27 Page 33 Page 38 Page 51 Page 64 Page 74

Deux approches de programmation linéaire en nombres entiers pour la conception de roulements de personnels sédentaires François Ramond & David De Almeida SNCF Direction de la Recherche et de la Technologie 45 rue de Londres 75379 Paris Cedex 08 francois.ramond@sncf.fr Stéphane Dauzère-Pérès (Ecole des Mines St Etienne, France) Hanif Sherali (Virginia Tech, USA) Plan de la présentation • • • • • Introduction Formulation à base de variables journalières Formulation à base de patrons hebdomadaires

(AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si il existe un réel k tel que  . AB=k CD Exemple d'application B F A E D C Soit ABCD un parallélogramme. Construire le point E milieu de [AD] et le point F tel que  1 . AF= AC 3 Exprimer  et  en fonction de  et  . BE BF AB AD Montrer que B, E et F sont alignés. On décompose  en une somme de deux vecteurs en utilisant le relation de Chasles et en BE faisant intervenir le point A.   AE=− 1  . BE=BA AB AD 2 On fait de même avec  . BF 1

. . . . . . . Encodage des codes linéaires - Matrices génératrices . . . . . . . . . . . . Exemple : le code binaire de Hamming de longueur 7 Codes systématiques Décodage des codes linéaires - Matrices de contrôle Propriétés des matrices de contrôle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Codes linéaires Codes cycliques . . . . . . .

B.3.1 On considère les fonctions f , g et h dont certaines valeurs sont données ci-dessous : x 0 2 4 6 8 10 12 f (x) 1 6 8 0 2 8 8 g : –2 3 g : –1 – 2 g : 0 2 g : 2 –1 g : 3 2 h (0) = 4 h (1) = 2 h (- 2) = 5 h (3) = 1 h (5) = 0 a) Quelle est l'image du nombre 8 par la fonction f ? b) Quelle est l'image du nombre 2 par la fonction g ? c) Quelle est l'image du nombre 0 par la fonction h ? d) Quels sont les antécédents du nombre 8 par la fonction f ? e) Quels sont les antécédents du nombre

Département de mathématiques L1S2 : physique – chimie Année 2007–2008 Algèbre linéaire Cours magistral no 1 Chapitre 1 – Structure d’espace vectoriel 1 Définition et représentation de Rn Si n ∈ N∗ , on note Rn l’ensemble des suites ordonnées de n nombres réels. Une telle suite est appelée n-uplet1 réel. La suite des nombres réels x1 , x2 ,..., xn est le n-uplet réel noté (x1 , x2 , . . . , xn ). Les nombres x1 , x2 ,..., xn sont appelées les coordonnées du nuplet réel (x1 , x2 , . . . , xn

homothétie de rapport 1 (identité) sur l’axe défini par a2 =  −1  = e1 − e2 − e3 ;    −1   1    • une homothétie de rapport 2 sur l’axe défini par a3 =  −1  = e1 − e2 .   0   Les vecteurs de la base canonique sont donnés, en fonction de la base propre, par : e1 = a 1 + a 2 e2 = a 1 + a 2 − a 3 e3 = a 3 − a 2 EXERCICE 2. Faire, pour la matrice A suivante, une étude semblable à celle de l’exercice 1 pour la matrice M :  3 5 −5    A =  −5 −7 5    3  

question précédente, pour (α, β) ∈ R2 , matB (αp + βq) = diag(α, α, β). En particulier, matB (αp + βq) est une matrice diagonale. Si maintenant h est l’endomorphisme de matrice Y dans la base B, alors h2 = f car Y 2 = D mais h n’est pas une combinaison linéaire de p et q car Y n’est pas diagonale. 9) Puisque f est diagonalisable, R3 = E1 ⊕ E4 où E1 = Ker(f − id) et E4 = Ker(f − 4id). Soit h un endomorphisme de R3 tel que h2 = f. Alors h et f commutent et on sait que E1 et E4 sont stables par h ou encore

prochaine. Calcul du chiffre d'affaire prévisionnel de l'année 2010 Pour réaliser ce calcul,je vais faire une étude statistique à 2 variables du chiffre d'affaires en présentant tout d'abord sous la forme d'un tableau le chiffre d'affaire en fonction de l'année, et ce, de 2004 à 2009. Rang de l'année xi | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | Chiffre d'affaires en euros yi | 459006 | 502568 | 538268 | 617152 | 643124 | 684421 | J'ai ensuite représenté