Formation initiale

φ(IdI,y,y',y",...,y(n)) = 0 où 0 designe la fonction nulle sur I. Dans certains cas, à partir de la solution générale d'une équation différentielle, on peut rechercher une solution particulière satisfaisant à certaines conditions appelées conditions initiales. En général, ces conditions concernent les valeurs prises par la fonction ou certaines dérivées en une valeur x0. Exemples x x x La fonction f définie sur Á par f(x) = x2 est une solution particulière de l'équation différentielle y"

suisse Leonhard Euler [1707-1783]) ; mais l’étude de ces méthodes s’est surtout développée à partir des années cinquante avec l’apparition des ordinateurs . Pour calculer une approximation de la solution d’une équation différentielle avec condition initiale sur un intervalle [t0 , t0 + T ], on subdivise cet intervalle en sous-intervalles d’extrémités t0 < t1 < ... < tN = t0 + T et on cherche une valeur approchée de la solution en ces points tn , n = 0...N. On étudiera dans ce chapitre deux types de

r´eelle. 9.1.4 Solution v´ erifiant une condition initiale La donn´ee d’une condition initiale pour l’´equation y + a(x)y = b(x) sur l’intervalle ouvert I est la donn´ee d’un point x0 de I et d’un r´eel y0 . Une solution satisfaisant a` cette condition initiale est une solution y telle que y(x0 ) = y0 . Th´ eor` eme 3 Il existe une et une seule solution de l’´equation y +a(x)y = b(x) sur I satisfaisant `a la condition initiale y(x0 ) = y0 . D´emonstration : On a vu que la solution

positive et x0 ∈ R. a) Soit F la primitive de 1/f s’annulant en x0 . Montrer que F réalise une bijection de R sur un certain intervalle ouvert I. b) Etablir que F −1 est solution sur I de l’équation différentielle x = f (x) vérifiant la condition initiale x(0) = x0 . c) Justifier que cette solution est maximale. y = y(y − 1) Exercice 34 [ 00452 ] [correction] Déterminer les solutions au problème de Cauchy Exercice 28 [ 00448 ] [correction] Résoudre sur tout intervalle y + ey = 0 y = 2y

(t) + '000 (t) sin t = 0 1 1 On se ramène à un système d’ordre 1 en traitant les dérivées jusqu’à l’ordre p 1 comme des fonctions inconnues xi,k (i indice de la fonction initiale et k son ordre de dérivation), et en rajoutant les n (p 1) équations de liaison entre ces fonctions xi,k . Dans notre exemple, aux deux équations initiales s’ajoutant quatre nouvelles équations liant les 6 fonctions inconnues et leurs dérivées premières : 8 > t x1,0 + (x02,2 )2 = 0 > > > > > > x2,0 x1,2 + x01,2 sin t = 0

purement diffusive o` l’advection a ´t´ “distill´e” dans le e u ee e changement de variables (t, x) −→ (θ, y) a ´t´ ´galement utilis´e par Ve˘er eee e c [Ve01] en suivant une approche purement stochastique. • (7) Pour θ = 0 et y ≥ 1, la condition initiale (2) prend maintenant la forme v(0, y) = 0 , 1 r y ≥ 1. 1 log y , la condition a la limite (3) devient ` Lorsque y < 1 et θ = (8) v 1 1 1 log , y = g(y) ≡ (1 − y) , 0 < y ≤ 1. r y rT Le probl`me aux limites (6)(7)(8) est pos´ sur un domaine

peut encore s’´crire selon dθ + τθ0 = θ0 + Cth . La e e e e dt τ e solution est de la forme θ(t) = A exp − τt0 + θe + Rth φ0 . Cette solution peut encore ´voluer en tenant compte du fait que Rth φ0 = θc − θe . Avec la prise en compte de la condition initiale θ(t = 0) = θe , on arrive a : ` θ(t) = θc + (θe − θc ) exp − τt0 . 1 lorsque exp − τt0 = 20 . Cela conduit ` t = τ0 ln 20 ≃ 3τ0 . On trouve num´riquement τ0 = 7 500 s, ce qui fait 2 e a heures et 5 minutes et par cons´quent 3τ repr´sente 6

Cours 1. Prouver que la fonction f(x) = x2 est d ́erivable sur R et que f′(x) = 2x. 2. Prouver que si f est une fonction continue sur un intervalle I avec x0 ∈ I et y0 ∈ R alors il existe une unique primitive F de f sur I v ́erifiant la condition initiale F(x0) = y0 (on admet qu’une fonction continue poss`ede des primitives). Exercice 1 Pour chacune des quatre affirmations ci-dessous dire si celle-ci est Vraie ou Fausse, une r ́e- ponse juste rapporte 1 point et une r ́eponse fausse retire un point

En 1968, Serge Gainsbourg entre au studio Chapell à Londres pour y enregistrer Initials BB et boucler son album éponyme. Ce morceau est un cadeau d’adieu à Brigitte Bardot avec qui il vécut une courte mais intense passion… Bardot et Gainsbourg : une passion intense mais fugace Lorsque Gainsbourg compose Initials BB, il vit une intense passion avec Brigitte Bardot, alors mariée à Gunther Sachs, son très riche mari, qu’elle qualifiera souvent de « millionnaire et mari fantôme »... Souvent seule

de sortie par une matrice de 1 ligne et de N colonnes. X(1,1)=x1;%c'est notre condition initiale. for i=1:N%nous faisant une boucle permettant de calculer X, au bout de la N-ème génération. X(1,i+1)=r*X(1,i)*(1-X(1,i))%notre suite logique. end end Nous allons ensuite représenter sur une même figure notre fonction Xn pour différentes valeurs de r. x1=0.4;%on choisit 0.4 comme condition initiale. N=100; hold all%nous réunissons toutes les courbes sur le même graphique. plot (population(0