Formule topologique

libre Formule de Stirling L’objectif de ce devoir est de trouver un ´quivalent de n! e On se propose de d´montrer la formule de Stirling : e √ n! ∼ nn e−n 2πn +∞ ————— I Constante d’Euler —– 1 1 On consid`re la s´rie de terme g´n´ral un = − ln(1 + ) n ≥ 1. e e e e n n 1. Montrer que la s´rie e un converge 2. En d´duire que : e n 1 lim ( − ln(n) ) = C n−>+∞ k k=1 o` C est une constante r´elle, C > 0. C est la constante d’Euler. u e II Formule de Stirling

Chapitre 1 Probabilités et variables aléatoires L'objectif du chapitre est d'utiliser le concept de probabilité pour construire un certain nombre de modèles pouvant rendre compte de situations concrètes, où l'application de lois déterministes est impossible parce que les phénomènes sont très compliqués, ou les facteurs trop nombreux. 2 Chapitre 1 : Probabilités et variables aléatoires Chapitre 1 : Probabilités et variables aléatoires 3 1. Probabilités 1.1. Evénements L'expérimentateur

télécharger les fichiers de mon site pour les installer sur le vôtre. ENTIERS, DENOMBREMENT ET ARITHMETIQUE PLAN I : Les entiers 1) Le principe de récurrence. 2) Propriétés de . 3) La division euclidienne II : Combinaisons 1) Définition 2) Formules de récurrence 3) Formule du binôme de Newton III : L'anneau 1) Diviseurs communs, PGCD 2) Egalité de Bézout 3) Le théorème de Gauss 4) PPCM 5) Les nombres premiers IV : L'anneau des polynômes [X] 1) Algorithme du calcul du PGCD 2) L'égalité de Bézout 3) Le théorème

λx x + λy , (x, y) ∈ (C∗ × C). En particulier, pour Q = , on a Q−1 AQ = T et donc A est semblable à T . c) Soit n ∈ N. On a T = λI2 + E1,2 . Déjà, on a E2 = 0 et donc ∀k ≥ 2, Ek = 0. Comme les matrices λI2 et E1,2 1,2 1,2 commutent, la formule du binôme de Newton permet d’écrire T n = λn I2 + nλn−1 E1,2 = Mais alors ∀n ∈ N, An = Q λn 0 nλn−1 λn Q−1 . λn 0 nλn−1 λn . I.A.5) • Si A admet deux valeurs propres distinctes, A est semblable à une matrice diagonale d’après la question I.A.3)

Soit P = ∑ ak X k un polynôme à coefficients dans K. Démontrer que pour P( ) ∈N = k ∑ Ak ak X k− 10. * On se propose de redémontrer la formule de Taylor sans utiliser de récurrence. Soit P = ∑ ak X k un polynôme et a ∈ K. En écrivant P= ∑ ak [(X − a) + a]k en utilisant la formule du binôme et l’exercice 9, redémontrer la formule du binôme Exercices supplémentaires 11. Résoudre dans K[ X ] P = P P . On commencera par s’interresser au degré des éventuelles solutions . 12. Soit

premier set (0,2). L'évènement "Nadal gagne le premier set et remporte le match" est l'évènement . Sa probabilité est égale à . Pour calculer la probabilité que Nadal remporte le match, additionne les deux précédents résultats. C'est la formule des probabilités totales. Raphaël Nadal a un peu moins de 3 chances sur 10 de remporter le match. Dénombrement Une urne contient 5 boules numérotées de 1 à 5, les 3 premières sont vertes, les 2 dernières sont rouges. 1. On

PCSI 1 2012/2013 Formules de mathématiques pour la PCSI Sabrina BERGEZ 2 Table des matières 1 Algèbre 1.1 Algèbre générale . . . . . . . . . . . 1.1.1 Ensembles . . . . . . . . . . . 1.1.2 Nombres complexes . . . . . . 1.1.3 Trigonométrie . . . . . . . . 1.1.4 Dénombrement . . . . . . . . 1.1.5 Structures algébriques usuelles 1.1.6 Polynômes . . . . . . . . . . . 1.2 Algèbre linéaire . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Dimensions . . . . . . . . . . 1.2.2 Matrices . . . . . . . . . . .

se calculent aussi de proche en proche grâce au triangle de Pascal (ci-dessous). p> n∨ 0 1 2 3 4 5 6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 3 6 10 15 1 4 10 20 1 5 15 3 3 2 C4 = C3 + C3 1 6 1 III) Formule du binôme Définition : Pour tous réels a et b, et tout entier n non nul : 0 1 2 n n k ( a + b )n = C n a n b 0 + C n a n−1b1 + C n a n −2 b 2 + L + C n −1a1b n−1 + C n a 0b n = ∑ C n a n− k b k k =0 n IV) Méthodes et exemples Dénombrement

est de déterminer le nombre de possibilités de groupes d’élèves pris en photo. 1. Montrer que le nombre de possibilités de groupes d’élèves pris en photos est 28 0 + 33 1 +... + 33 33 3. En déduire la réponse à ce problème. 2. A l’aide de la formule du binôme de Newton développez (1 + 1)33 . Exercice 3 : On considère 7 boules numérotées de 1 à 7. 1. On en tire simutanément 3. Combien y a-t-il de tirages possibles ? 2. a. Combien y a-t-il de tirages possibles dont le plus grand numéro est 5

P(x) un polynôme à coefficients entiers, et p un entier naturel au moins égal à 1. On pose : montrons que les coefficients de P(X) sont des entiers : en développant les par la formule du binôme et en posant le polynôme Q(X) est de degré égale à np c'est le produit de n polynômes de degré p, par la formule du binôme on peut exprimer le produit comme un polynôme donc de degré np et à coefficients entiers (une recurrence permet de le montrer en partant du produit de Cauchy de deux polynômes