Formule

premier set (0,2). L'évènement "Nadal gagne le premier set et remporte le match" est l'évènement . Sa probabilité est égale à . Pour calculer la probabilité que Nadal remporte le match, additionne les deux précédents résultats. C'est la formule des probabilités totales. Raphaël Nadal a un peu moins de 3 chances sur 10 de remporter le match. Dénombrement Une urne contient 5 boules numérotées de 1 à 5, les 3 premières sont vertes, les 2 dernières sont rouges. 1. On

A ) = ----------------------- . p(B) 92 cours savoir-faire exercices corrigés Remarque : comme A B = B A, alors p ( A B ) = p B ( A ) × p ( B ) = p A ( B ) × p ( A ) ( p ( A ) ≠ 0 et p ( B ) ≠ 0 ). p B ( A ) = 1 – p ( A ). 3. Formule des probabilités totales { B 1, B 2, …, B i, …, B n } est une partition de E si :  ∀i ∈ , 1 i n , B i ≠ ∅   ∀i ∈ , ∀j ∈ , i ≠ j , B i B j = ∅   B1 B2 … Bi … Bn = E . Si { B 1, …, B n } est une partition de E et si p ( B i ) est non nul pour

tenant compte de l'ordre mais sans répétitions. 9 9 Combinaisons : Une combinaison de p éléments de E est une partie de E qui contient p éléments. On choisit p éléments parmi n mais sans tenir compte de l'ordre et sans répétitions. C np = Formules : Anp n! = p! ( n − p )! p! n C n − p = C np et C np = C np−−11 + C np−1 (Triangle de Pascal ) ( a + b) n = ∑C p =0 n Dénombrements : quelles méthodes ? Typesde tirages Successifs Avec remise Successifs Avec remise Simultanés

Montrons que la suite (un)n∈N∗ définie par un = n n converge vers 1. On remarque d’abord que la suite est minorée par 1. Soit ε > 0 un nombre réel strictement 1 positif. Montrons que n n < 1 + ε pour n assez grand, ce qui équivaut à n < (1 + ε)n. La formule du binôme de Newton montre que (1 + ε)n = 1 + nε + n(n − 1)ε2/2 + · · · + εn. Comme tous les termes du second membre sont positifs, pour avoir n < (1 + ε)n, il suffit que n soit strictement inférieur à n(n − 1)ε2/2. Ceci a lieu si n est strictement

tel que A = aI + B . Calculer B 2 et B 3 . 2. Montrer que pour tout n ∈ N, n ≥ 2, on a An = an I + nan−1 B + 3. Retrouver la valeur de An à l'aide de la formule du binôme de Newton.  6 4 0 Exercice 10 : Soit A =  −4 −2 0 . Soit B = A − 2I . 0 0 2 2 n 1. Calculer B . En déduire B pour tout n ∈ N, n ≥ 2.   2. En utilisant la formule du binôme de Newton, déterminer An en fonction de n ∈ N. 0 6 0  0 0 . 8       1 1 0 −2 4 5 1 2 1 1 1 2 Exercice 11 : Soient A =  −1 7 2 , P

télécharger les fichiers de mon site pour les installer sur le vôtre. ENTIERS, DENOMBREMENT ET ARITHMETIQUE PLAN I : Les entiers 1) Le principe de récurrence. 2) Propriétés de . 3) La division euclidienne II : Combinaisons 1) Définition 2) Formules de récurrence 3) Formule du binôme de Newton III : L'anneau 1) Diviseurs communs, PGCD 2) Egalité de Bézout 3) Le théorème de Gauss 4) PPCM 5) Les nombres premiers IV : L'anneau des polynômes [X] 1) Algorithme du calcul du PGCD 2) L'égalité de Bézout 3) Le théorème

C412 = 495. Noter l’équivalence au problème de comité : On choisit 4 positions (membres) sur 12. Généralisation: code binaire de longueur n contenant k fois « 1 », 0 ≤ k ≤ n: Ckn. 6 I.2.d. Propriétés des coefficients binomiaux Théorème : (Formule du binôme de Newton ): (a + b ) Exemples (a + b)0 = 1 n k = ∑ Cn a n − k b k k =0 n (a + b)1 = C10 a + C11b = a + b (a + b)2 = C20 a 2 b 0 + C21a 1b1 + C20 a 0b 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + b)3 = C30 a 3b 0 + C31a 2 b 1 + C32 a 1b 2 +

Les matrices F recherchées sont donc les matrices de la forme :   0 0 0   e f . F = d −d −e −f Exercice 5 - Produit non commutatif - L1/Math Sup Les matrices A= 0 1 , 0 0 B= 1 0 0 0 conviennent. Exercice 6 - Puissance n-ième - avec la formule du binôme - L1/Math Sup On commence par calculer les premières valeurs de B n . On a   0 1 0   B =  0 0 1 , 0 0 0   0 0 1   2 B =  0 0 0 , 0 0 0   0 0 0   3 B =  0 0 0 . 0 0 0 On en déduit alors par récurrence que, pour

Factorisation Il n'y a pas de coecients binômiaux dans la formule ci-dessus ! Exercice 10. Calculer en fonction de Exercice 5. et Démontrer que pour tous réels on a Indication : où voir page 11 Réponse : voir page 12 (on factorisera par et pour pour se ramener à la . deux nombres réels (ou complexes) et un entier Exercice 11. Exercice 6. Factoriser Calculer formule encadrée). Calculer de même Réponse : voir page 12 Formule du binôme de Newton : Réponse : voir page 12

l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre. Formule sommatoire de Poisson L’objectif de ce problème est d’établir sous quelles conditions la formule sommatoire de Poisson est vraie et d’en étudier certaines applications. Les fonctions considérées dans ce problème sont toutes définies sur R et à valeurs dans C. On note L l’espace vectoriel des fonctions