Graphe orienté acyclique

Stage olympique de Saint-Malo Cours  Théorie des graphes Samedi 2 août 2003 par Pierre Bornsztein Table des matières 1 Premières notions 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2.1 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 4.1 4.2 4.3 Graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . Degré d'un sommet . . . . . . . . . . . Connexité . . . . . . . . . . . . . . . . Graphe complet  Graphe multipartite Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 93  17,     •  Portable  :  09  89  555  294     •  Courrier  :  phan@liafa.jussieu.fr,   phan.haduong@gmail.com   Descrip0on  du  module   •  Problèmes  d’op0misa0on  sur  les  graphes  :   problme  d’ordonnancement  et  méthode  de  Pert,   et  flots  dans  les  réseaux  et  algorithme  de  Ford   Fulkerson,  problème  du  plus  courts  chemins.     •  Programma0on

Définition : Un graphe permet de décrire un ensemble d'objets et leurs relations, c'est à dire les liens entre les objets. Les objets sont appelés les noeuds, ou encore les sommets du graphe. Un lien entre deux objets est appelé une arête. Nous dirons simplement qu'un graphe est d'ordre n si il comporte n sommets. Toute la richesse des graphes vient évidemment de la grande diversité que peut avoir l'ensemble de ses arêtes. Degre : Deux sommets x et y sont adjacents si il existe l'arête (x,y)

Quantitatives de Gestion et Méthodes de Résolutions de Problèmes Partie II Problèmes de Cheminements et d’Ordonnancement Introduction à la Recherche Opérationnelle Chapitre 1 : NOTIONS DE BASE SUR LES GRAPHES 1.1 Définitions 1.2 Quelques graphes particuliers 1.3 Représentation des graphes sur machines 1.3.1 Matrice d’adjacence 1.3.2 Matrice d’incidence 1.3.3 Exemple Chapitre 2 : PROBLEMES DE CHEMINEMENTS 2.1 2.2 Définition Le problème de l’arbre de poids minimum. Algorithme de Kruskal et

7. Probème de flot à coût minimum 7.1 Graphes, graphes orientés, réseaux • Un graphe G =(V, E) est constitué d’un ensemble non vide fini de sommets V et d’un ensemble d’arêtes E tel que chaque arête a est identifiée par une paire non ordonnée de sommets (u, v). 1 c a 2 b d 3 V = {1, 2, 3} E = {a, b, c} a = b = (1, 2) ; c = (1, 3) ; d =(2, 3) • Un graphe g est un sous graphe d’un graphe G si tous les sommets et toutes les arêtes de g sont aussi des sommets et des arêtes

Filières d’ingénieur: I.M.I.A.E & G.E. 2009-2010 ÉLEMENTS DE THEORIE DES GRAPHES QUELQUES EXERCICES D’APPLICATION Le but principal de cette série d’exercices est de servir de « source d’inspiration ». 1. NOTIONS DE BASE 1.1. Modélisation Exercice 1. Construire un graphe orienté dont les sommets sont les entiers compris entre 1 et 12 et dont les arcs représentent la relation « être diviseur de ». Exercice 2. Une chèvre, un chou et un loup se trouvent sur la rive d’un fleuve ; un passeur

Chapitre 1 : Graphes ! I) Définition: Définition: Un graphe G est un couple (V,E) où V est l’ensemble des sommets et E € V*V est l'ensemble des arêtes. ! Graphiquement: V = {a,b,c,d,e} ! ! Il peut y avoir des variantes: ! E = {(a,b),(a,c),(b,d),(c,d),(d,e)} • Graphe dirigé: les arêtes ont une direction. L'arête (a,b) est différente de (b,a). • Graphe avec ou sans boucle (ou auto arête): L'arête (a,a) est autorisée ou non. • Graphe multiple: On autorise plusieurs

La théorie des graphes Inventée par Euler. Il habitait une ville celle de Königsberg, qui était entourée par des canaux et traversée par des ponts. Un jour, il s’est demandé s’il était possible de se rendre dans chacun des 7 quartiers de la ville en ne traversant qu’une seule foie chacun des ponts. Il a donc crée un graphique, en représentant chacun des ponts par un tiret et chacun des quartiers pas un point. Il utilise des algorithmes. La théorie des graphes est toujours utilisée de nos jours

N° 1 THEORIE DES GRAPHES NOTIONS DE BASE I) Soit le graphe A B F E II) C 1) Donner G + (A ), G + (B), G - (A ), G - (B). 2) Donner les demi-degrés intérieurs et extérieurs des sommets A et B. Donner les entrée(s) et les sortie(s) de G. 3) Donner un exemple de chemin simple mais non élémentaire. 4) Existe-t-il un circuit hamiltonien dans G ? 5) G est-il fortement connexe ? Justifiez votre réponse. D A B C D E Soit la matrice M binaire associé au graphe G : È0 Í0 Í Í0 Í

I. Théorie des Graphes Quelques rappels de théorie : ( Graphe Orienté Notation : G = ( X , U ) Où : X = ensemble fini d’éléments appelés sommets. U = sous-ensemble de X x X (couples de sommets), dont les éléments sont appelés arcs. ( Graphe non orienté Notation : G = ( X , E ) Où : X = ensemble fini d’éléments appelés sommets. E = ensemble de paires de sommets, appelées arêtes. ( Sous-graphe Issu d’un sous-ensemble de sommets du graphe. 2. On ne