Homothétie

arguments z arg ( ) = arg z - arg z' [2π] z' arg z z'= arg z + arg z' [2π] arg z = "arg z [2# ] Transformations usuelles ! ! soit une transformation telle que M(z) " M'(z') Translation de vecteur u d'affixe t : z' = z + t ! Homothétie de centre Ω d'affixe ω et de rapport k : z' - ω = k (z- ω) ! Rotation de centre Ω d'affixe ω et d'angle θ : z' - ω = e i" (z- ω) EQUATIONS DU SECOND DEGRE DANS C C ! Soit l'équation az 2 + bz + c = 0 et le discriminant " = b 2 # 4ac c

milieu de [MM’] - Symétrie axiale : ~ sur d telle que d soit médiatrice de [MM’] - Projection sur d //t à d’ : ~ telle que M’ intersect° de d & de la // à d’ passant par M - Projection orthogonale : ~ telle que M’ intersect° de d & de sa ┴ - Homothétie de centre O & de rapport k : ~ telle que OM' = kOM (avec k valeur absolue) - Rotation : rotat° sur 1 cercle 1 cercle de centre O selon 1 angle & 1 sens donnés - Compositions de transformations : success° de trsform° Thalès (d & d’ sécantes en

volume mobile (c’est-à-dire une petite surface externe pour préserver l’énergie)
 Ensuite, l’auteur nous fait constater que la croissance de la plante agit également sur sa forme ; là où l’animal prend juste du volume mais garde la même forme (=homothétie), la plante, elle, change de forme, elle se « raméfie » (s’étendre en surface) pour que la photosynthèse puisse se faire de manière optimale. Au niveau de la composition cellulaire, l’auteur nous présente la distinction animal/plante : l’animal

Montrer que f est une homothétie vectorielle (c’est-à-dire ∃λ ∈ R/ ∀→ ∈ E, f(u) = λ− )) ». → − → E, ∃λ ∈ R/ f( u u u u → Résoudre cet exercice consistera à montrer que le réel λ fourni dans (∗) est en fait indépendant du vecteur − ou encore u que ce réel ne varie pas quand u varie. Exercice 6. Ecrire avec des quantificateurs les propositions suivantes : 1) a) f est constante sur R (où f est une fonction de R dans R). b) f n’est pas constante sur R. 2) a) f est une homothétie (où f est une transformation

{e},{a}][ f ,{e},{e}][idE ,{a},{e}] =  0 1 0  .   0 0 2   L’endomorphisme f se décompose donc en :  0    • une homothétie de rapport −1 (symétrie) sur l’axe défini a1 =  1  = e2 + e3 ;    1   1    • une homothétie de rapport 1 (identité) sur l’axe défini par a2 =  −1  = e1 − e2 − e3 ;    −1   1    • une homothétie de rapport 2 sur l’axe défini par a3 =  −1  = e1 − e2 .   0   Les vecteurs de la base canonique sont donnés, en fonction

ZB - Z A et Si A et B ont pour affixes respectives zA et ZB alors AB = IZB-zAI des arguments [2 [2 'IT] • Proprietes Pour tous z E C* et z' E C* , arg (zz') = arg (z) + arg (z') arg (?)=arg (z)-arg (z') 'IT] • Caracterisation Homothetie z'-w=k(z-w) complexe de transformations t, t E C : z' = z + t M(z) t-7 M'(z') Translation de vecteur de centre D d'affixe n d'affixe w, WE C, et de rapport k E IR* B. Geometrie • Produit scalaire de deux vecteurs

on pose dk = dim(Ik ). Montrer que la suite (dk − dk+1 )k∈N est décroissante. no 25 (***I) : Soit E un espace vectoriel non nul. Soit f un endomorphisme de E tel que pour tout vecteur x de E la famille (x, f(x)) soit liée. Montrer que f est une homothétie. no 26 (***I) : Soit E un espace de dimension finie. Trouver les endomorphismes (resp. automorphismes) de E qui commutent avec tous les endomorphismes (resp. automorphismes) de E. no 27 (**I) : Soient p et q deux projecteurs d’un C-espace vectoriel

150 millions de km) apparaît sous un angle d'une seconde d’arc, 1pc ! 3,08 10 km (une année-lumière correspond à 9,45 10 km soit environ 0,307pc). Nombreuses théories (notamment celle de formation des étoiles et galaxies de Hoyle) suggère une homothétie interne de dmention fractal D=1. C’est ce que propose le modèle descriptif de fournier d’albe(1907). Nous avons en effet vu qu’une dimension D<2 est nécessaire pour que le modèle soit compatible avec le « paradoxe d’olbers », mais à priori rien

soleil puis CTRL+D mutiplié 9 fois 2. Un texte curviligne est : a. b. c. d. 1p Un texte qui remplit une forme Un texte qui court sur une ligne courbe ou ligne brisée Un texte en capital qui court entre deux paragraphes Ça n’existe pas 3. Une homothétie c’est : a. b. c. d. 1p Un changement proportionnel de taille d’un objet Une déformation arrondie d’un objet Le changement de disposition d’un objet Une symétrie verticale 4. 5. Pour déplacer un point de construction d’un objet j’utilise (cerner

triangle ABC n’est pas équilatéral, la droite (OH) est appelée droite d’Euler du triangle ABC. 4. n Droite d’Euler et transformation Soit ABC un triangle. On appelle A’ le milieu de [BC], B’ le milieu de [AC] et C’ le milieu de [AB]. Par quelle homothétie passe-t-on du triangle ABC au triangle A’B’C’ ? En déduire l’alignement des trois points O, G et H (notations de l’exercice 1) Quelques configurations 5. n Théorème de Ménéalaüs Soit ABC un triangle non aplati et D une droite qui coupe respectivement