Homothétie

λ u (∗). Montrer que f est une homothétie vectorielle (c’est-à-dire ∃λ ∈ R/ ∀ u ∈ E, f(u) = λ u )) ». → Résoudre cet exercice consistera à montrer que le réel λ fourni dans (∗) est en fait indépendant du vecteur − u ou encore que ce réel ne varie pas quand u varie. Exercice 6. Ecrire avec des quantificateurs les propositions suivantes : 1) a) f est constante sur R (où f est une fonction de R dans R). b) f n’est pas constante sur R. 2) a) f est une homothétie (où f est une transformation du

centre K et de rapport [pic] et J le point d’affixe 2. On pose : [pic]. Déterminer les images des points K et J par la transformation f. En déduire la nature précise de la transformation f. d. Démontrer que la similitude s’ est la composée d’une homothétie et d’une réflexion. 2 Exercice 3 (6 points) On considère les deux courbes (C1) et (C2) d’équations respectives [pic] et [pic] dans un repère orthogonal du plan. Le but de cet exercice est de prouver qu’il existe une unique tangente T commune

opposée du sténopé et le sujet apparait clairement. On peut pourtant observer que le sujet est inversé, la gauche devient la droite et le haut devient le bas. Suivant ’ g ement du plan focal et du sujet du sténopé, sa taille varie mais conserve son homothétie. S ’ q ’ , a face opposée au trou peut être opaque ou translucide (en verre dépoli) et pour plus de précision, on peut remplacer le sténopé par une lentille de verre. o La chambre noire A la Renaissance, Léonard de Vinci se servit

on pose dk = dim(Ik ). Montrer que la suite (dk − dk+1 )k∈N est décroissante. no 25 (***I) : Soit E un espace vectoriel non nul. Soit f un endomorphisme de E tel que pour tout vecteur x de E la famille (x, f(x)) soit liée. Montrer que f est une homothétie. no 26 (***I) : Soit E un espace de dimension finie. Trouver les endomorphismes (resp. automorphismes) de E qui commutent avec tous les endomorphismes (resp. automorphismes) de E. no 27 (**I) : Soient p et q deux projecteurs d’un C-espace vectoriel

symétriquement à l’axe 2. Les individus ne sont pas représentés sur le graphique Le graphique de l’AFC du tableau de Burt semble se déduire de celui de l’AFC du tableau de contingence par une transformation du plan composée d’une symétrie d’axe Axe1 et d’une homothétie de centre O. csp1 csp2 csp3 csp4 R 0 1 0 0 1 0 2 1 0 1 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 2 S 0 0 1 0 1 0 2 T 1 0 0 1 0 0 2 Sum 2 2 2 2 2 2 12 AFC sur le tableau disjonctif complet cinq deux quatre six trois un Sum 0 0 0

Propriétés des arguments arg z z'= arg z + arg z' [2π] Transformations usuelles ! soit une transformation telle que M(z) " M'(z') z arg ( ) = arg z - arg z' [2π] z' ! arg z = "arg z [2# ] ! Translation de vecteur u d'affixe t : z' = z + t ! Homothétie de centre Ω d'affixe ω et de rapport k : z' - ω = k (z- ω) ! Rotation de centre Ω d'affixe ω et d'angle θ : z' - ω = e i" (z- ω) EQUATIONS DU SECOND DEGRE DANS C C ! Soit l'équation az 2 + bz + c = 0 et le discriminant " = b 2 # 4ac c "b

rendement global. La figure ci-contre indique un graphe typique des « collines de rendement » obtenues pour un aménagement constitué de 4 groupes identiques. Chaque courbe présentant une allure générale semblable, deux effets les distinguent : une homothétie reflétant la plage des débits turbinables qui est croissante avec le nombre de groupes, un tassement (diminution du rendement maximal) induit par les pertes de charges quadratiques de l’adduction. Lorsque les rendements sont utilisés dans une

triangle OMM’ est rectangle. Notons R = OM le rayon du cercle, et θ = M ' OM . Comme vaut π 6 R 1 R 1 OM = MM ' , on a MM ' = . On sait alors que sin(θ ) = 2 = donc l’angle cherché 2 2 R 2 . 6. Exercice 2 (spécialistes) Partie A 2. h est une homothétie donc une similitude directe, S1 est une similitude axiale donc une similitude indirecte. La composée s de h et de S1 est donc une similitude indirecte. 3. > L’écriture complexe de S1 est z ' = z . 7 D. PINEL, Site Mathemitec : http://mathemitec

Montrer que f est une homothétie vectorielle (c’est-à-dire ∃λ ∈ R/ ∀→ ∈ E, f(u) = λ− )) ». → − → E, ∃λ ∈ R/ f( u u u u → Résoudre cet exercice consistera à montrer que le réel λ fourni dans (∗) est en fait indépendant du vecteur − ou encore u que ce réel ne varie pas quand u varie. Exercice 6. Ecrire avec des quantificateurs les propositions suivantes : 1) a) f est constante sur R (où f est une fonction de R dans R). b) f n’est pas constante sur R. 2) a) f est une homothétie (où f est une transformation

centre K et de rapport et J le point d’affixe 2. 2 On pose : f = s ′ ◦ h. Déterminer les images des points K et J par la transformation f . En déduire la nature précise de la transformation f . d. Démontrer que la similitude s ′ est la composée d’une homothétie et d’une réflexion. E XERCICE 3 Commun à tous les candidats 6 points On considère les deux courbes (C 1 ) et (C 2 ) d’équations respectives y = ex et y = −x 2 − 1 dans un repère orthogonal du plan. Le but de cet exercice est de prouver qu’il