Identité trigonométrique

diagonale est une matrice carrée dont tous les éléments sont nuls sauf éventuellement les ai,i (qui sont situés sur une diagonale). Autrement dit : ai,j = 0 si i j. Ex : 1 0 0 0 5 0 0 0 3 − est une matrice diagonale. d) Matrice unité (ou identité) Une matrice unité est une matrice diagonale qui n’a que des 1 sur la diagonale (ai,i = 1). La matrice unité de taille n×n est parfois notée In. Ex : 1 0 0 0 1 0 0 0 1 matrice unité de taille 3x3, notée parfois I3. 3) Opérations sur les

( c + d ) = ac + ad + bc + bd Démonstration : on utilise la relation vue en cinquième en remplaçant k par a + b ( a + b ) × ( c + d ) = ( a + b ) × c + ( a + b ) × d = ac + bc + ad + bd Cette année, voici trois nouvelles relations, appelés identités remarquables : ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 ( a – b )2 = a2 – 2ab + b2 ( a – b ) ( a + b ) = a2 – b2 Démonstration : on utilise la relation vue en quatrième 2 2 2 2 2 ( a + b ) = ( a + b ) ( a + b ) = a + ab + ba + b = a + 2ab + b 2 2

7 Ce système s’écrit Mathématiques en MPSI © Jean-Michel Ferrard x y = mathprepa.fr Page 421 17.1 Matrices et applications linéaires Chapitre 17 : Matrices et applications linéaires Application identité et matrice identité La matrice de IdE dans une base e de E est la matrice identité In , quelle que soit la base e. Mais attention ! la matrice de IdE n’est pas In si dans E on utilise une certaine base e au départ et une autre base ε à l’arrivée (voir plus loin la question des « matrices

Fiche méthode sur la forme canonique Rappels sur les identités remarquables Pour réussir à mettre une expression sous forme canonique , il faut connaître et savoir manipuler parfaitement les identités remarquables Exemple Mais il faut aussi savoir factoriser une expression donnée : Exemple Factoriser : On remarque d’abord qu’il y a un « moins » donc il s’agit de l’identité remarquable Ensuite , on associe chacun des termes ( les morceaux) : on voit immédiatement que le « a » correspond au « x »

IDENTITES REMARQUABLES Un certain nombre d’identités sont remarquables et doivent être sues par cœur (tout au moins celles qui sont encadrées), parce qu’on les utilise constamment dans les calculs. En fait, ces identités ne sont que des applications des opérations que nous venons d’étudier et s’établissent aisément. On notera cependant, pour bien comprendre la nécessité absolue d’apprendre par cœur ces identités, que s’il est facile de développer par exemple (A − B) (A + B) et (A − B) (A2 + AB +

FACTORISER On dit que la multiplication est distributive par rapport à l’addition (ou la soustraction). Dans l’exemple, on a distribué la multiplication par x sur les termes 4 et y. 2) Double-distributivité DEVELOPPER Propriété : FACTORISER 3) Identités remarquables Propriété : Pour tous nombres réels a et b, on a : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 (a + b)(a – b) = a2 – b2 Exemples :  3x  5   3x   2  3x  5  52  9 x 2  30 x  25 2 2  2 x  1 2 x  1   2 x 

Formules de trigonométrie : -1 ≤ cosα ≤ 1 -1 ≤ sinα ≤ 1 1 = (cosα)² + (sinα)² ―› Formule fondamentale de la trigonométrie. (cosα)² = 1 – (sinα)² (sinα)² = 1 – (cosα)² Angles associés. Cosα = Sin(π/2 – α) Sinα = Cos(π/2 –α) Angles opposés. Cos(-α) = Cosα Sin(-α) = - Sinα Angles supplémentaires. Sin ( π – α ) = Sinα Cos ( π – α ) = - Cosα Angles anti-supplémentaires. Cos ( π + α ) = -Cosα Sin ( π + α ) = -Sinα α 0 π/6 (30°) π/4 (45°) π/3 (60°) π/2 (90°) Sinα 0 1/2 √2/2 √3/2 1 Cosα

d’une variable réelle I.1.1 I.1.2 I.1.3 I.1.4 I.1.5 I.1.6 I.1.7 I.1.8 I.1.9 I.1.10 Définition des dérivées . . . . . . . . . . . . Propriétés des dérivées . . . . . . . . . . . . Fonctions réciproques . . . . . . . . . . . . . Fonctions trigonométriques réciproques . . Formule des accroissements finis . . . . . . Formule de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . Infiniment petit . . . . . . . . . . . . . . . . Développements limités-définition et calcul

ÉTUDE DE LA FONCTION TANGENTE . Le but de ce devoir est d’étudier la fonction tangente et d’en établir quelques propriétés. 1. Résoudre, sur ] − ; ], l’équation : cos x = 0. En déduire toutes les solutions, sur R, de cette équation. 2. On considère la fonction tangente, notée tan, et définie par : tan x = sin x cos x pour x 2 D où D = R \  2 +k, k 2 Z  On note C sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O; #ı ; #| ). a. Étudier la parité de cette fonction. b. Démontrer

direct (O ; I ; J). Définitions : • Deux vecteurs u et v non nuls définissent un angle orienté noté (u ; v). • Les demi-droites [O ; u) et [O ; v) coupent le cercle trigonométrique en deux points E et F. Une mesure en radian de l’angle orienté (u ; v) est une mesure algébrique de l’arc EF. Rappel : Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1. Son périmètre est 2( [pic] Exemples remarquables : • Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si, et seulement si (u ;