Identité trigonométrique

T2p+1 (;x) = ;2xT2p (;x);T2p;1 (;x) = ;2xT2p(x)+T2p;1 (x) = ;T2p+1 (x) 2. Procedons la encore par recurrence. T0 (cos x) = 1 = cos(0x) T1 (cos x) = cos x. Supposons que pour tout k n ; 1 Tk (cos x) = cos(kx). Alors, en s'aidant de la formule trigonometrique 2 cos a cos b = cos a + b + 2 cos a ; b : 2 Tn (cos x) = 2 cos xTn;1 (cos x) ; Tn;2 (cos x) = 2 cos x cos((n ; 1)x) ; cos((n ; 2)x) = cos(nx) Or cos(nx) = 0 ) nx = 2 + k k 2 Z, ce qui entra^ne que : Tn (cos x) = 0 ) x 2 2n + kn 0 k n ; 1 et

usuelles Trigonométrie hyperbolique Les formules de trigonométrie hyperboliques ne doivent pas être apprises par coeur. Il faut savoir les retrouver rapidement en utlisant les formules de trigonométrie et l’extension suivante des fonctions trigonométriques : ∀x ∈ R, ch x = cos(ix ) sh x = −i sin(ix ) th x = −i tan(ix ) Formules d’addition : Soient a, b ∈ R, ch(a + b) = ch a ch b + sh a sh b ch(a − b) = ch a ch b − sh a sh b sh(a + b) = sh a ch b + sh b ch a sh(a − b) = sh a ch b − sh b ch a

plan Oxy par un point et réciproquement, tout point du plan Oxy peut être considéré comme l’image géométrique du nombre complexe . Le plan sur lequel on represente les nombres complexes est appélé plan de la variable complexe. 2.6.2. Forme trigonométrique des nombres complexes Désignons par et les coordonnées polaires du point ; en prenant l’origine des coordonnées pour pôle et les sens positif de l’axe pour axe polaire : On a les relations : 2.7. Elévation d’un nombre complexe à une puissance

numériques, où a et b sont 2 nombres positifs, utiliser les égalités : , COMMENTAIRES La touche de la calculatrice, qui a déjà été utilisée en classe de quatrième, fournit une valeur approchée d'une racine carrée. Le travail mentionné sur les identités remarquables permet d'écrire des égalités comme : Ces résultats, que l'on peut facilement démontrer à partir de la définition de la racine carrée d'un nombre positif, permettent d'écrire des égalités telles que : On habituera ainsi les élèves

l'ensemble des courbes représentatives de toutes les solutions de cette équation différentielle. Francis Wlazinski 1 Remarques x x x En pratique, on suppose souvent que I est un intervalle ouvert de Á. Si IdI désigne l'application identité de Á restreint à I, on peut aussi écrire φ(IdI,y,y',y",...,y(n)) = 0 où 0 designe la fonction nulle sur I. Dans certains cas, à partir de la solution générale d'une équation différentielle, on peut rechercher une solution particulière satisfaisant

calculer la limite de cette fonction pour x tendant vers 4. CORRECTION Nous obtenons la forme indéterminée 0/0. Pour lever cette indétermination nous pourrions utiliser la règle de l'Hôpital. Cependant je vous propose d'utiliser la factorisation par identité remarquable histoire de varier les plaisirs (tableau récapitulatif des techniques pour lever l'indétermination). 1.4 Multiplier "haut et bas" par les trinômes conjugués On vous demande de calculer la limite suivante : CORRECTION Il faut

système fermé 5.1 Énoncé du deuxième principe (ILYA PRÉGOGINE) . . . . . . . . . . . . . . 5.2 IDENTITÉS THERMODYNAMIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Différentielle de l’énergie interne d’un système simple fermé . . . . . 5.2.2 Pression et température thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Première identité thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.4 Deuxième identité thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 TRANSFORMATIONS DU GAZ PARFAIT .

système fermé 5.1 Énoncé du deuxième principe (ILYA PRÉGOGINE) . . . . . . . . . . . . . . 5.2 IDENTITÉS THERMODYNAMIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Différentielle de l’énergie interne d’un système simple fermé . . . . . 5.2.2 Pression et température thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Première identité thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.4 Deuxième identité thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 TRANSFORMATIONS DU GAZ PARFAIT .

fermé 5.1 Énoncé du deuxième principe (ILYA PRÉGOGINE) . . . . . . . . . . . . . . 5.2 IDENTITÉS THERMODYNAMIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Différentielle de l’énergie interne d’un système simple fermé . . . . . 5.2.2 Pression et température thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Première identité thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.4 Deuxième identité thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 TRANSFORMATIONS DU GAZ PARFAIT

437 ohms. 5 5 Chapitre 1 : Second degré 17 C H A P I 2 T R E Trigonométrie Activités Activité 1 Enroulement sur le cercle trigonométrique Le but de cette activité est de réactiver l’enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique, vu en classe de Seconde, puis de faire découvrir aux élèves de nouvelles notions trigonométriques et quelques propriétés afférentes : le radian (notion non exigible en Seconde), la mesure d’un angle de vecteurs et la mesure principale.