Imputation Rationnelle

 e § ¦ – Th´ or` me du retard e e On d´ signe par f t a le signal identique a f t e ` mais retard´ de la dur´ e a. On a : e e 1 A ¤ § ¦ § ¦  F 8 D @1 7 f g F z Gz De mˆ me, si z z 1 F z est une fraction rationnelle e dont les racines du d´ nominateur sont dans le cercle e unit´ alors le signal f k converge pour r e ∞ et on a: z 1 lim f k lim F z z 1 z k ∞ e § ¦ 5 e t ∞ p 0 § ¦  (§ ¦  l 0 l 0 5 k  5 § 

I) Rappels sur les fractions a Une fraction s'écrit : , avec a et b entiers relatifs , b ≠ 0 . b 1) Règle des signes 2) Simplification k×a −a −a a a a a = = − = = (k≠0) b −b b −b b k ×b b 3) Egalité a c = équivaut à a × d = b × c b d 4) Addition. Soustraction a+c a c + = b b b 5) Multiplication a×c a c × = b d b×d 6) Inverse. Division a b L'inverse de la fraction est la fraction . ( a ≠0;b≠0) b a a a c a d ÷ = b = × b d c b c d II) Rappels sur les racines carrées 1) Définition Soit a un nombre

existe un nombre unique x1 entre x et Y tel que f(x1) = Nb cherché Limites FI • • • • +∞ + -∞ 0 x +∞ ou -∞ 0/0 +ou-∞/+ou-∞ La limite en + ou -∞ d'une fonction polynôme est celle de son terme de plus haut degré. La limite en + ou -∞ d'une fonction rationnelle (polynôme/polynôme) est celle du quotient des termes de plus haut degré. Limite fonction composée Fog = g dans f Exemple : g(x) = 2x-3 et f(x) = x², Fog(x) = (2x-3)² Si : lim g(x) = b x→a Et si : lim f(x) = c x→b Alors : lim (fog)(x) = x x→a Asymptotes

x − x 2 + o x 2 Exemple 2 : Q(x) = (1 + x)4 ⇒ Q(x) = 1 + 4 x + 6 x 2 + o x 2 Exemple 3 : Q ◦ P (x) = 1 + 4 (x − x 2 ) + 6 x 2 + o x 2 = 1 + 4 x + 2 x 2 + o x 2 Donc : Q ◦ P (0) = 4 (Pourquoi ?). 3. DL d’une fonction rationnelle Proposition 3.4 Toute fonction rationnelle : f : D = R\Q −1 (0) ⊂ R → R : x → P (x) , telle que Q(0) Q(x) est non nul, admet en 0 un DL à tout ordre n, dont la partie régulière s’obtient en effectuant la division puissances croissantes du polynôme P par le polynôme

CLASSES PREPARATOIRES AUX GRANDES ECOLES TRONC COMMUN DES UNIVERSITES (TCT) FFa SCIENCES TECHNIQUES (ST) semestre 3 (LMD)     MECANIQUE  RATIONNELLE    O → → → z0 , z1 → z2 ψ → • y0 L L/2 R A x0 θ C • → → x1, x2 Cours & exercices résolus    Rappels sur les Vecteurs, Les Torseurs, Statique des Solides, Géométrie des Masses, Cinématique du Point et du Solide, Cinétique et Dynamique des Solides A. KADI UNIVERSITE M’HAMED BOUGARA - BOUMERDES

bε x = a−b ε x=ab ε Par contre, l'ensemble des solutions de l'équation 2 x = 1 et x ε est vide. On peut construire une extension de , appelée corps des nombres rationnels et notée tion précédente possède une solution notée x = 1 . 2 aε , bε ∗ Les équations suivantes possèdent une solution rationnelle x= a b x = a2 aε , dans laquelle l'équa- ε ε Par contre, l'ensemble des solutions de l'équation x2 = 2 et x ε est vide. On peut contruire une extension

Université d’Orléans UNIX La programmation AWK AbdelAli.Ed-Dbali@lifo.univ-orleans.fr © A. ED-DBALI awk - principe de fonctionnement Forme générale d’un programme awk : Fichier en entrée Programme awk BEGIN {action début} Ligne1 … sélection1 {action1} … sélectionn {actionn} Lignem END {action fin} Ligne2 Exécutée avant le début de lecture du fichier (sélection = BEGIN) Pour chaque lignei (i=1 à m) faire : pour j=1 à n faire : si sélectionj est vérifiée

D∈Z0 D L'ensemble des nombres rationnels est obtenu en complétant l'ensemble des nombres entiers : N ⊂ Z ⊂ Q. Remarques  Dans Q, la division est interne. Tout nombre rationnel est un nombre décimal limité ou un nombre décimal illimité périodique. Il suffit en effet d'effectuer la division du numérateur N par le dénominateur D. Deux cas peuvent se présenter : 1) La factorisation première de D ne contient que les facteurs 2 et 5. Le nombre rationnel est alors un nombre décimal limité

77 6.1.1 Lois du calcul int´egral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 6.1.2 Int´egration de fonctions complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 6.1.3 Int´egration de fonctions rationnelles, d´ecomposition en fractions partielles . 80 Int´egration et quadrature — l’int´egrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 6.2.1 L’int´egrale d´efinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

- 9,763 1 x 104   4-Nombres rationnels Ce sont les quotients d'un entier relatif par un entier naturel non nul. (exemples : 3/7 ; -11/39 ; ...) Tout nombre décimal est un nombre rationnel (certains rationnels, pas tous, ont une écriture décimale : par exemple 1/4 = 0,25 est un décimal, mais pas 9/7) L'ensemble des nombres rationnels sont stable pour l'addition, la soustraction, la multiplication et la division (sauf par 0)  5-Nombres réels Les réels non rationnels sont appelés irrationnels.  (√2