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§ 2 Nombres complexes
Ce deuxième paragraphe est une partie consacrée aux fondements mathématiques.

§ 2.1 Le corps des nombres complexes ü Extensions successives
Certaines équations à coefficients naturels ont leurs solutions dans aε , bε

x = a+b

ε

Par contre, l'ensemble des solutions de l'équation
1 + x = 0 et x ε est vide. On peut contruire une extension de , appelée ensemble des entiers relatifs et notée , dans laquelle l'équation précédente possède une solution notée x = -1. Les équations suivantes possèdent une solution entière aε , bε aε , bε

x = a−b ε x=ab ε Par contre, l'ensemble des solutions de l'équation
2 x = 1 et x ε est vide. On peut construire une extension de

, appelée corps des nombres rationnels et notée

tion précédente possède une solution notée x =

1
.
2

aε , bε

∗

Les équations suivantes possèdent une solution rationnelle

x=

a

b x = a2

aε

, dans laquelle l'équa-

ε ε Par contre, l'ensemble des solutions de l'équation x2 = 2 et x ε est vide. On peut contruire une extension de

, appelée corps des nombres réels et notée

précédente possède deux solutions notées x = ≤

, dans laquelle l'équation

2 . Par contre, l'ensemble des solutions de l'équation

x2 = −1 et x ε est vide.

ü Le problème de l'extension des nombres réels
Peut-on contruire une extension de , appelée corps des nombres complexes et notée x2 = -1 possède deux solutions notées x = ≤ i ?

, dans laquelle l'équation

Nous exigeons que les principales règles de calcul relatives aux opérations définies sur les nombres réels soient encore valables pour les nombres complexes.

ü Définition d'un corps
Un corps est un triplet HK, + , ÿL où K désigne un ensemble de "nombres" muni de deux opérations internes : l'addition notée + et la multiplication notée ÿ; les propriétés suivantes doivent être vérifiées :

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HK, +L est un groupe