Isabelle Carré

RACINES CARREES Emilien Suquet, suquet@automaths.com I Définitions, calcul avec les radicaux La racine carrée d’un nombre positif b est le seul nombre positif d dont le carré est égal à b. On a donc d2 = b et on note d = b 2 Par définition, on a donc avec b ≥ 0, b ≥ 0 et ( b) = b 4 2 = 9 3 Ex : 9 = 3 (car 32 = 9) ; 0 = 0 ; 1 = 1 ; 16 = 4 ; 25 = 5 ; Remarque : les nombres négatifs n’ont pas de racine carrée A partir de la définition, nous allons obtenir les trois règles suivantes

quelconque : papillon : 1 axe de symétrie rectangle : 2 axes de symétrie aucun axe de symétrie On peut vérifier qu’une figure admet un axe de symétrie en la pliant, en la décalquant, en la retournant dans sa trace, en utilisant un miroir... carré : 4 axes de symétrie cercle : une infinité d’axes de symétrie ! http://laclassebleue.fr/ MÉMO (d1)  Deux droites sont parallèles quand l’écartement entre elles est constant : elles ne se coupent jamais ! MÉMO  On peut tracer

a quatre côtés égaux, alors c’est un losange. • Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c’est un losange. Carré : • Si un quadrilatère a quatre côtés de même longueur et un angle droit, alors c’est un carré. • Si un quadrilatère a des diagonales perpendiculaires, de même longueur et qui ont le même milieu, alors c’est un carré. Triangle : • Dans un triangle, la longueur d’un côté est strictement inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés. • Si dans

le problème. x + 1 1 (x – 1)2 ≥ 2 ⇔ x + –2≥ 0 ⇔ ≥ 0 x x x Ainsi “ Pour tout x ∈ IR, si x > 0 alors x + 1 (x – 1)2 ≥ 2 ” équivaut à “ Pour tout x ∈ IR, si x > 0 alors ≥ 0 ”. x x Or x > 0 donc le dénominateur est toujours positif et le nombre au carré au numérateur est positif ou nul, Donc (x – 1)2 est toujours positif ou nul si x est strictement supérieur à 0. x Conclusion : Si x > 0 alors x + 1 ≥ 2 x 

3 et 6, qui sont les diviseurs de 6. 3. Dans le triangle ABC ci-dessous, AB = 4 cm. 4. Le quadrilatère ABCD ci-dessous est un carré. ON NE PEUT PAS SAVOIR : rien ne dit que le triangle soit rectangle, donc a priori on ne peut pas utiliser la trigonométrie VRAI : Les quatre côtés sont égaux donc c'est un losange ; et, si un losange a un angle droit, alors c'est un carré. 5. Les nombres 570 et 795 sont premiers entre eux. FAUX : Ils ont tous deux 5 comme diviseur. EXERCICE N°2 On donne l’expression

Triangle rectangle : PYTHAGORE et COSINUS 1 ) RACINE CARREE On appelle racine carrée d’un nombre positif a, le nombre positif b tel que b 2 = a . On note b = a . Ex : • 9=3 • On utilise la touche 13 ≈ 3,61 ( à 0,01 près ) de la calculatrice . 2 ) THEOREME DE PYTHAGORE Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés . B Donc BC 2 = AB 2 + AC 2 ABC est rectangle en A . A C Rem : L’hypoténuse est le plus long côté d’un triangle rectangle

a^m * a^n = a^m+n inverse : 1/a^n = a^-n quotient : a^m/a^n = a^m-n puissance de puissance : (a^m)^n = a^m*n puissance d’un produit : (ab)^m = a^m b^m puissance d’un quotient :a^m/b^m = (a/b)^m 5) Racines carrées Lorsque a est un nombre positif, racine de a désigne le nombre positif dont le carré est égal à a. Si a est un nombre négatif, alors racine de a n’a pas de sens.

N en A') ainsi x ∈ [ 0 ; 3 ] 2. La face ABB'A' du cube est un carré alors le triangle MB'N est un triangle rectangle en B'. D'après le théorème due Pythagore : MN² = MB ' ² B ' N² ainsi : MN² =2²  x² = 4  x² et MN =  4  x² 1 2 2 (Comme BM = BB ' il est clair que MB ' = BB ' = 3 =2 ) 3 3 3 3. N ' ∈ [ A ' B ' ] donc A ' N  NB ' = A ' B ' = 3 et A ' N = 3− NB ' =3 − x Comme en 2° la face A'B'C'D' du cube est un carré alors le triangle NA'S est un triangle rectangle en 3 ² A' et

droite ? 8) 4x2 - 16x + 16 est égal à 9) (2x + 5)(3x + 2) – (2x + 5)2 est égal à 10) Quelles sont les solutions de 7 l'équation (x + 2)(2x )=0 4 11) Le produit  5 x  45 est égal à : 3 12) Le quotient est égal à :  48 13) Le carré (  7 14) -4  5 +3  2 )2 est égal à :  20 est égal à : x- 1 x 3 x3x (2x+ 4)2 (4x – 2)2 (2x – 4)2 (2x + 5)(5x + 7) (2x + 5)(x – 3) (2x + 5)(5x + 3) - 2 et 7 8 -2 et 7 4 -2 et 14 4 3 5

Ordinaires (MCO) Comment estimer a1 et a0 pour reproduire au mieux le phénomène économique observé ? La technique des Moindres Carrés Ordinaire (MCO) apporte une réponse au problème posé. On doit estimer a1 et a0 de façon à minimiser la distance au carré entre chaque point observé yt et chaque point ŷt donné par la droite ŷt = â1xt + â0. (2) Se reporter à l’ouvrage de Lardic et Mignon (2002), Econométrie des Séries Temporelles Macroéconomiques et Financières, Economica. 4 Soit e = yt –