Joseph Fourier

1 2 3 4 II. Filtrage d’une tension périodique Un circuit composé d’une résistance R et d’une inductance L est alimentée par la tension périodique v(t) décrite par l’oscillogramme suivant : 1) Calculer le développement en série de Fourier de v(t). Montrer que cette tension peut s’exprimer sous la forme : v(t ) = 4E π ∑ sin((2k + 1)π T k =1 ∞ t1 0 ). cos((2k + 1)ω 0 t ) avec ω 0 = 2π T0 2) Déterminer la valeur de t1 qui annule l’harmonique en 3ω0. 3)

évoqués et notament Charles fourier avec son système des falenstère propose la mise en place de petite unitée de production plus juste et respectueuse des conditions de travail parcequ'il est choqué par les inégalité et révolté par les conditions de travail et d'habitat des ouvriers. Ce système des falenstère s'organise autour d'une population d'environ 1500 personnes qui ont pour objectif une vie en autarcie. Ce modèle s'inscrit dans une longue tradition utopiste mais Fourier va plus loin car il est

Exercices - Transformation de Fourier : ´nonc´ e e ´ Fonctions integrables Exercice 1 - Fonction triangle - Troisi`me ann´e e e Calculer la transform´e de Fourier de la fonction triangle d´finie par : e e   1+x  f (x) = si − 1 ≤ x ≤ 0 1 − x si 0 ≤ x < 1   0 sinon. Exercice 2 - Calcul d’une transform´e de Fourier par r´solution d’une ´quation e e e diff´rentielle - L3/Math Sp´ e e En formant une ´quation diff´rentielle v´rifi´e par f , calculer la valeur de e e e e +∞ f (x) = 0

seconde. Pourtant, un signal binaire sera considérablement arrondi à la sortie d'un tel canal. Il est facile d'en expliquer la raison par la composition spectrale donnée par l'analyse de Fourier. En général, un signal périodique non sinusoïdal est composé d'une série d'harmoniques selon la formule: La série de Fourier d'un signal carré tel que présenté sur la figure 3.4 sera composée d'une série d'harmoniques impaires donnée par la formule: Figure 3.4 : Signal carré Le spectre d'un tel signal ne

2- Moyennes mobiles: Une moyenne mobile correspond à une moyenne arithmétique glissante qui permet d’éliminer les effets de la saisonnalité. La détermination de la moyenne mobile dépend de la périodicité, deux cas de figure sont à distinguer : * Pour la périodicité impaire : Exemple : Le quadrimestre, (3 quadrimestres dans l’année). Soit une série statistique composée de 10 observations Q1, Q2…Q10. Calculez la moyenne mobile, ou les moyennes mobiles pour cette série statistique. Y’1 =[Q0+Q1+Q2]/3

Gargantua, le quatrième est celui de Victor considérant, Description du phalanstère en 1846, et pour finir le cinquième texte de Godin, Familistère en 1905.Les six images présente sont celles de L’abbaye de Thélème, Gargantua, Le Phalanstère de Charles Fourier, La Cité idéale, L’ile d’utopia et Le Familistère. Tous ces textes et image sont des lieux et des descriptions liées à l’utopie. Nous pouvons tout d’abord nous demander qu’est-ce qui fait de ces lieux des lieux utopiques ? et en quoi la nature des

sinh( )) n n ∀y ∈ [0, 1], w2 (0, y) = 0 2 Pour s'en convaincre, se reporter à la preuve de l'unicité de la solution u section suivante 6 On en déduit A = 0. La dernière condition porte sur C2 .On développe à présent en 2 −y série de Fourier la fonction g : y → y 2 dénie sur [0, 1]. Cette fonction est prolongeable par imparité sur [−1, 0]. On a alors : ∞ 2 g(y) = k=1 αk sin(kπy) avec αk = 0 (y 2 − y) sin(kπy)dy Une double intégration par parties donne l'expression suivante

choisir soit un prolongement pair soit un prolongement impair pour éviter les longs calculs des cœfficients. Exercice 1 Donner une série de Fourier de période 2π qui coïncide sur ]0, π[ avec la fonction f (x) = ex . Réponse : Ici on ne précise que l’intervalle où la série de Fourier coïncide avec f , c’est à dire ]0, π[. Comme la période de la série de Fourier est 2π, il y’a alors une infinité de réponses ; examinons trois cas différents. Notons f˜i , i = 1, 2, 3, le prolongement de f à R tout entier

puissance des ordinateurs et des algorithmes de calcul. Ceci passe par des voies mathématiques plus complexes comme l'utilisation de la transformée de Fourier rapide (Fast Fourier Transform = FFT) où l'espace de l'image est décomposé en sous-unités plus faciles à gérer mathématiquement. Chacun subit une transformation de Fourier ; chacun des spectres de Fourier est combiné avec ses voisins pour reconstituer l'image d'ensemble. 2. Nombre Hounsfield Si le faisceau de RX, à la sortie du tube, est rendu monochromatique

 Exercice 1 (ultra-classique, tiré du livre “ Physique des ondes et des vibrations ” , André Lecerf, éditions Tec&Doc) Développer en séries de Fourier les fonctions périodiques ( de période T= ) suivantes : 1.1) Courbe en créneaux irréguliers Réponse : 1.2) Courbe en créneaux réguliers (cas précédent avec  = T /2) Réponse : 1.3) Sinusoïde redressée simple alternance. réponse : fonction paire, donc Bm= 0. et pour m > 1, il n'y a plus