Joseph Fourier

LPI 99/2000 examcor.tex 1/ 7 Éléments de corrigé Exercice 1 1. est définie sur Ê, paire et périodique, de période Ì obtient la courbe : ; de plus ´Øµ ¾ Ø si Ø ¾ ¼ ¾ On 2. Calculons les coefficients de Fourier Ò et Ò de la fonction – calcul de Ò : puisque – calcul de ¼ : est paire, on sait que Ò ¾ ¼; ; on a Ì , ¾ donc ¾. ¼ ½ ¾ – calcul de Ò pour Ò ¾ Æ £ : Ò ¾  ¾ ´Øµ Ø ¾ ¼ ¾ ´Øµ Ø ¾ ¾ ¼ ¾ Ø Ø ¾ ¢¾

irréversible. De plus l’éducation pour lui ne doit pas se borner à donner des outils (apprendre à lire et écrire) mais à développer le sens critique et la capacité de raisonner en dehors de tout dressage. B/ Leurs convictions politiques Pour Charles Fourier, théoricien de l’attraction passionnée, l’univers serait en relation avec les passions humaines qu’il reflèterait. Il classe les hommes et femmes en 810 catégories correspondantes à autant de passions sous passions et sous sous passions. Sur cette

de x=1 et f=3KHz pour le calcul de x=3. Les valeurs de gain trouvées respect le gabarit proposé comme souhaité. D’après la figure 5, le signal d’horloge est paire : f(t)=f(-t) On rappelle l’équation générale pour une décomposition en série de Fourier : ft=a0+n=1∞ancos(nwt)+bnsin(nwt) Comme la fonction est paire, alors l’ensemble des bn sont nuls. On a ainsi les fonctions suivantes : a0=2T0T2ftdt an=4T0T2ftcos(nwt)dt Le coefficient a0 est également nul car celui-ci défini la valeur moyenne

série de Fourier Soit F de période T (pulsation   2 ). Alors, d’après le théorème de Fourier : T   n 0 n 0 (an ) nN , (bn ) nN * , t  R , F (t )   an cos(.n.t )   bn sin(.n.t ) On a : a0  F (t ) t t an  bn  2 F (t ' ) cos(.n.t ' )dt' T 0 2 F (t ' ) sin(.n.t ' )dt' T 0  t Notation compacte : F (t )   C n cos(.n.t   n ) ( a0  C0 cos 0 ) n 0 Terme 0 : valeur moyenne Terme n : harmonique de rang n de la décomposition de Fourier. Exemple

donc procéder à un décalage en fréquence du signal visualisé sous Matlab par la fonction fftshift, et une transposition des axes fréquentiels. Fig3 : représentation du spectre d’amplitude en domaine fréquentielle Remarque : - La transformée de Fourier d’une fonction sinusoïdale de fréquence f0 est représentée par deux impulsions de Dirac centrée sur les fréquences –f0 et +f0. NB . L’impulsion centrée sur f0 n’a pas d’existence physique. Fig4 : représentation fréquentielle du signal échantillonné

Séries de Fourier 1-) E désigne la fonction partie entière. Sur I on définit la fonction partie fractionnaire par: ∀x∈I R, ∈ R, F(x) = x – E(x). a-) Montrer que F est 1-périodique et tracer sa représentation graphique. b-) Ecrire le développement en série de Fourier de F. c-) Etudier la convergence de la série de Fourier de F. 1 π2 d-) Montrer que: ∑ 2 = . n 6 n≥1 –––––––––––––––– a-) On sait que: ∀x∈IR, E(x + 1) = E(x) + 1. Par suite, ∀x∈IR, F(x+ 1) = x + 1 – E(x + 1) = x + 1 – E(x) – 1 = x – E(x)

Matières étudiées : Chapitre 1 : Les oscillations 1. Les oscillations 2. Le mouvement harmonique simple 3. La deuxième loi de newton appliquée à un MHS 4. L’énergie dans un MHS 5. L’oscillateur harmonique simple angulaire 6. Les pendule 7. Inutile 8. Inutile 9. Les oscillation forcé et la résonance Chapitre 2 : Les ondes 1. Les ondes et les particules 2. Les types d’ondes 3. Les ondes transversales et les ondes

Note d’introduction Document sur La Transformée de Fourier et ses applications en chimie-biologie, par Sylvain Lafontaine, ing. Ce document a été réalisé durant l’été de 1983, alors que j’étais étudiant à l’Université du Québec à Trois-Rivières et a été dactylographié à la main. La version PDF que vous avez actuellement a été réalisée en digitalisant (« scannant ») le document original; c’est pourquoi sa présentation est relativement grossière. À cause des nombreuses formules, je n’ai pas pu

d’orthogonaliser les signaux filtrés au moyen d’une décomposition en valeurs singulières [7]. Une autre méthode, permettant un meilleur contrôle de la régularité de l’allure spectrale des signaux générés consiste à travailler dans le domaine de Fourier ; Dans le domaine de Fourier, on décompose le spectre en sous-bandes d’intérêt dans lesquelles on suppose que les signaux ortogonaux que l’on cherche à générer ont des densités spectrales constantes et identiques. Cela permet de choisir la contribution discrétisée

Les méthodes de prévisions 1 Le nuage statistique Une série chronologique se traduit toujours par une tendance, le trend. Point moyen: = Ȳ= Les représentations graphiques : Intérêt : mets en évidence la tendance et les mouvements saisonniers Types de graphiques : chronogramme, diagramme bipolaire 2 Méthode de prévision basé sur la tendance Méthode d’ajustement linéaire Elle repose sur l’hypothèse que la tendance va se prolonger, il s’agit alors de prolonger cette tendance en