La Conjecture

 678 . b. n  n0  12  19   678  12  19   678  228   222  228  . 4. 222. Exercice 4 : On considère la suite (un) d’entiers naturels définie par u0 = 14, un+1 = 5un − 6 pour tout entier naturel n. 1. Calculer u1, u2, u3 et u4. Quelle conjecture peut-on émettre concernant les deux derniers chiffres de un ? 2. Montrer que, pour tout entier naturel n, un2  un (modulo 4) . En déduire que pour tout entier naturel k, u2 k  2(modulo 4) et u2 k 1  0(modulo 4) . 3. a. Montrer par récurrence

(c) En utilisant la formule de Bernoulli, uniquement pour x 0. 0. (d) Proposez une quatrième méthode. 10. : On donne f (x) = 1 ; conjecturer une formule pour la dérivée n-ième f (n) (x) et la montrer par récurrence. x+a 2 n ′ σ. 2 EXERCICES MPSI R. FERRÉOL 13/14 A1. II. SOMMES, RECURRENCES, BINOME 11. : Partant de u0 = 1, calculer u1 , u2 , u3 puis conjecturer une formule pour un et la démontrer par récurrence, dans les cas suivants : un un + 1 un = u2n + 1 un = un + 2 (a) un+1 = (b) un+1

charge leur critique, il ruse avec eux.  Jusqu’à l’amorce, sans doute, d’une satire : - «　Dan était peut-être le nom de mon père, oui, elle me prenait peut-être pour mon père　» : enthymème, raccourci facile : à partir d’une simple conjecture sur un nom on pose une conjecture sur le psychisme de la mère. - Certaine ironie aussi contre l’idée de souvenir signifiant (faire d’une anecdote un peu dérisoire la clé de lecture d’un caractère). Importance accordée au souvenir accentuée par épanalepse «　je me

que la suite des aires est géométrique, et admettre le résultat conjecturé à la question 2 . 6 Chapitre 1 : Suites 5493_9782011821201_Prof.indd 6 25/06/12 12:33 1  La représentation ci-dessous n’est pas à l’échelle demandée dans le TP. 1 512 On a : A0 = 81 , A1 = 81 − 9 = 72 , A2 = 72 − 8 × 1 = 64  et A3 = 64 − 8 × 8 × = . 9 9 512 A3 A1 72 8 A2 64 8 8 b) = =  , = =  et = 9 = . On peut conjecturer que la suite (An) est une suite A0 81 9 A1 72 9 A2 64 9

697 5 0,674 6 0,658 7 0,647 8 0,638 9 0,632 10 0,626 100 0,582 1000 0,578 1500 0, 578 2000 0,577 À l’aide de ce tableau, formuler des conjectures sur le sens de variation de la suite (u n ) et son éventuelle convergence. 12MASCOME1 page 4 / 6 Partie C Cette partie peut être traitée indépendamment de la partie B. Elle permet de démontrer les conjectures formulées à propos de la suite (u n ) telle que pour tout entier strictement positif n, 1 1 1 u n = 1 + + + ... + − ln n. 2 3 n 1. Démontrer

chaque extremum de ƒ. 3. Soit α ∈   y = αx . On note Dα la droite d'équation : a. Démontrer que C et D2 possèdent deux points d'intersection dont on calculera les abscisses. b. Émettre des conjectures sur le nombre d'éléments de C ∩ Dα selon les valeurs de α. Démontrer, au choix, l'une de ces conjectures. (La question [3.b.] demande un peu de recherche) Exercice 3 (5 points) Dans une foire, une publicité annonce : " Un billet sur deux est gagnant, achetez deux billets ! " Dans cet exercice

0,674 6 0,658 7 0,647 8 0,638 9 0,632 10 0,626 100 0,582 1000 0,578 1500 0, 578 2000 0,577 À l’aide de ce tableau, formuler des conjectures sur le sens de variation de la suite (u n ) et son éventuelle convergence. 12MASCOME1 page 4 / 6 Partie C Cette partie peut être traitée indépendamment de la partie B. Elle permet de démontrer les conjectures formulées à propos de la suite (u n ) telle que pour tout entier strictement positif n, 1 1 1 u n = 1 + + + ... + − ln n. 2 3 n 1. Démontrer

pourra demander son avis au professeur d’économie de la classe… Les exercices proposés dans la rubrique Cap vers le Bac reprennent tous les points importants ; nous avons veillé à y inclure un algorithme et le recours à un tableur pour émettre une conjecture. Le sujet commenté page 32 est issu du bac métropole de septembre 2011 ; il semble bien illustrer la nécessité de recourir à une suite arithmético-géométrique pour modéliser une situation donnée et émettre des prévisions.   Les notions abordées

tenir un tel propos, n’est-ce pas ignorer la question de la croyance ? On bute ici sur le problème du rapport entre la vérité religieuse (de cœur, de foi) et la vérité de l’intelligence pure (savoir). III. LA VERITE SCIENTIFIQUE : CERTITUDE OU CONJECTURE ? Quelle est la nature de la vérité en science ? Si la science nous permet d’accéder à une vérité consensuelle, a-t-elle pour autant le monopole de l’objectivité ? Les vérités scientifiques sontelles éternelles ou provisoires, absolues ou relatives

comprendre qu’une courbe représentative de fonction est un objet abstrait et que le tracé que l’on en fait (à la main ou avec le tableur) n’est qu’une allure de cette courbe. 2 Modéliser avec des fonctions 1. f) On conjecture graphiquement que MI = 3,2 si la longueur AM est égale à 4 m. On conjecture également que l’aire de AMI est égale à 12,1 si la longueur AM est égale à 5,5 m 20 0 –100 – 80 – 60 – 40 – 20 0 20 Température (en °C) c) Les lectures grisées sont Altitude Température des valeurs approchées