Limites Standardisation

Chapitre 2 Limite d’une suite 1.  Page d’ouverture • Énigme ✱ L’épaisseur d’une feuille est de 0,01 cm. Si on plie la feuille une fois, l’épaisseur est alors 2 ¥ 0,01 cm. Si on plie encore une fois, l’épaisseur est égale à : 22 ¥ 0,01 cm = 22 ¥ 0,01 cm et ainsi de suite… ième pliage, l’épaisseur est donc égale à 2n ¥ 0,01 cm. Au n Prenons pour distance moyenne entre la Terre et la Lune d = 384 400 km = 3 844 ¥ 107 cm. On cherche la première valeur de n pour laquelle 0,01 ¥ 2n

valeurs de 2 ∗ ∗ ∗ temps t k −1 et t k , est voisin de v ( t k ) ∆t k = ( t k ) ∆t k , où t k ∈ [t k −1, t k ] . Le déplacement total sera donc voisin de la somme de tous ces déplacements. Le déplacement réel s’obtient par un passage à la limite. 10 10 0 n 0 Déplacement = lim ∑ v ( t ) ∆ t k = ∫ v ( t ) dt = ∫ t 2 dt n →∞ ∆ t k →0 k =1 ∗ k 10  d  t3  2   =t  dt  3  0 103 03 1000 = − = m 3 3 3 t3 = 3 © ERPI -6- ⇒  t3 est une

un=2n3n-n3n=vn-n3n. On en conclut que pour tout n, un≤vn. La suite v majore donc bien la suite u. En déduire la limite de la suite u. La suite u est minorée par la suite nulle, et majorée par la suite v. Or la limite de la suite v est 0 car c’est une suite géométrique dont la raison est comprise strictement entre -1 et 1. La suite u est donc encadrée par deux suites ayant pour limite 0. On en conclut, d’après le théorème d’encadrement, que limn→+∞un=0 Problème Soit (un) la suite définie

test (1/2 h) Ch 9 : Limites Comportement asymptotique des fonctions Exercice 1 (1,5 point) Le graphique suivant montre la courbe d’une fonction f définie sur ] [pic] ; – 4 [ [pic]] – 4 ;1 [[pic]]1 ;+[pic][ qui admet deux asymptotes verticales d’équations x = – 4 et x = 1 . Par lecture graphique donner les limites de f(x) aux bornes de son ensemble de définition. [pic] Exercice 2 (2 points) Déterminer les limites des fonctions suivantes

1ère BT S DOM OT IQU E Limites Lundi 20 octobre 2008 Devoir surveillé n 2 ˚ EXERCICE no 1 Déterminer les limites suivantes : 1. lim x→+∞ 2. lim x→2− −3x2 + 4x + 1 3. x+3 x2 − 4 4. lim+ lim x→−∞ x→0 x2 − 5x4 + 3x − 1 x4 − x2 − 1 x2 − x + 1 + ln x 2 5. 6. lim x→+∞ ln x x3 + x x2 e lim ex + e−x + x→−∞ √ 2 − 3x EXERCICE no 2 → − Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O; − ; →), on donne la courbe représentative

majorant M ind´pendant de x, p, n. Faisons tendre p vers ∞ ci-dessus, cela donne par passage a la limite e ` d’in´galit´s larges |fn(x) − f(x)| ≤ M ; donc f est born´e comme somme d’applications born´es puisque e e e e f = (f − fn ) + fn . Enfin on a dit que si ε > 0 est donn´, il existe un rang n0 tel que e 1) ∀x ∈ [0, 1], ∀p ∈ N, ∀n ≥ n0 , |fn(x) − fn+p (x)| ≤ ε Faisons encore p → +∞: par passage a la limite d’in´galit´s larges il vient pour tout x ∈ [0, 1] |f n(x)−f(x) ≤ ` e e ε ie N∞ (f − fn ) ≤ ε

n. 4 c P.Brachet - www.xm1math.net Kit de survie - Bac S 2-5 Limites de suite n→+∞ • Une suite (Un ) est dite convergente s’il existe un réel l tel que lim Un = l. • La suite est dite divergente si elle n’admet pas de limite ou si lim Un = ±∞ n→+∞ • Les théorèmes sur les opérations avec les limites de fonction restent valables pour les suites. Pour les suites définies par Un = f (n) : si f admet une limite en +∞ alors lim Un = lim f (x). n→+∞ x→+∞ (dans la pratique, on peut

L’encadrement précédent permet (en multipliant par n et en divisant par ln αn , pour n = 1) d’obtenir les deux inégalités : 2 αn n (e − αn ) et α2 n (e − αn ). On obtient donc l’encadrement fin ln αn nal : 2 αn α2 n (e − αn ) n ln αn d. Par passage à la limite on a donc lim n (e − αn ) = e2 .. n→+∞ On peut en déduite que lim αn = lim e 1 − n→+∞ n→+∞ e . n La suite (αn ) converge donc comme la suite 1 c’est-à-dire lentement. n novembre 2006 6 

un entier naturel. un+1 − un = un − Donc la suite (un ) est décroissante. d. Puisque la suite (un ) est décroissante et minorée (par 0), on en déduit que la suite (un ) est convergente. e. Notons ℓ la limite de la suite (un ). Pour tout entier naturel n, on a 0 ≤ un ≤ 4 et donc par passage à la limite quand n tend vers +∞, on a 0 ≤ ℓ ≤ 4. Puisque la fonction f est continue sur [0; 4] et donc en ℓ, en faisant tendre n vers +∞ dans l’égalité un+1 = f(un ), on obtient f(ℓ) = ℓ. La question 3) de la partie

G_k(x) = \frac 1 3 ax^3 + \frac 1 2 bx^2 + cx + k, où k est une constante. Ce résultat se démontre par application des règles de calcul sur les dérivées ou primitives, ou par la méthode de la quadrature de la parabole qui mêle géométrie et passage à la limite.