Logarithme complexe

52 Continuité 1re année Fonctions dérivables 1re année Intégration sur un intervalle quelconque 2e année 55 Étude globale des fonctions dérivables 21 1re année Généralités sur les équations différentielles 60 1re année Logarithmes, exponentielles et puissances 1re année 24 Équations différentielles linéaires 62 1re année et 2e année 9 10 11 12 Fonctions circulaires et réciproques 1re année 21 28 Systèmes différentiels linéaires 2e année 66 Fonctions

la fonction nulle. Soit A et B deux évènements d’une même expérience aléatoire tels que P(A) = 0,2, P(B) = 0,5 et P(A∪B) = 0,7. d) A et B sont incompatibles. Exercice n°2 Bases en Géométrie.   Pour le a) et b), on se place dans le plan complexe ( O; u , v ) .   Les questions a) et b) sont indépendantes. 2π 2π  2π  −6  cos [2 ] . π a) Si z = + i sin  alors arg( z ) = 3 3 3   b) Si M est un point d’affixe z de partie imaginaire non nulle et M’ un point d’affixe z '

Mercredi 05 mars Physique Mathématiques Sciences industrielles Jeudi 06 mars Vendredi 07 mars Physique Mathématiques Sciences industrielles                                                              1 Travail1 Partie 1 Chapitre 1 Nombres complexes et géométrie élémentaire Partie 1 Chapitre 1 Mécanique du point Partie 1 Chapitre 2 Fonctions usuelles et équations différentielles linéaires Partie 1 Chapitre 1 Etude des systèmes Partie 1 Chapitre 2 Electrocinétique Partie 2 Chapitre 1 Nombres

nombre imaginaire −1 prédéclaré. Les nombres complexes sont écrits sous la forme a + bi où a et b sont des nombres réels. Il est impératif de ne mettre aucun blanc entre le nombre b et i. Ainsi 3+ 4i et 3 + 4i sont valables mais 3+4 i n’est pas reconnu. Pour comparer deux réels, on peut utiliser les commandes pour la comparaison. On en cite >=, > c=’Bonjour’ Exercice : Chercher les commandes dans l’aide de Matlab qui permettent de donner le logarithme et la racine carrée, le carré et la partie entière

52 Continuité 1re année Fonctions dérivables 1re année Intégration sur un intervalle quelconque 2e année 55 Étude globale des fonctions dérivables 21 1re année Généralités sur les équations différentielles 60 1re année Logarithmes, exponentielles et puissances 1re année 24 Équations différentielles linéaires 62 1re année et 2e année 9 10 11 12 Fonctions circulaires et réciproques 1re année 21 28 Systèmes différentiels linéaires 2e année 66 Fonctions

Soit le nombre complexe z = 1 − i 3. Proposition 3 : « Si l’entier naturel n est un multiple de 3 alors z n est un réel. »VRAI On utilise la forme exponentielle : z = 1 − i 3 = r eiθ où r = 1 + 3 = 2 et θ est 3 1 π π tel que cos(θ) = et sin(θ) = − , θ = − . Donc z = 2e−i 3 et pour tout entier 2 2 3 nπ naturel n, z n = 2n e−i 3 . Si n est multiple de 3, il s’écrit sous la forme 3k où k est un entier naturel. On obtient alors z n = 2n e−ikπ = ±2n ∈ R 4. On considère, dans le plan complexe rapporté à un

On a montré que n    \1 3 u n    nu n1 u  IV Complexes (partie 1) ROC 1 (vue au bac Métropole - Juin 2010 et Juin 2014 Prérequis Soit z un nombre complexe tel que z  a  ib où a et b sont deux nombres réels. On note z , le nombre complexe défini par z  a  ib Questions 1) Démontrer que, pour tous nombres complexes z et z  , z  z   z  z  2) Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, et tout nombre complexe z, z n  z n Solution 1) z  a  ib et z   a   ib  où

4 Gestion des fichiers du r´epertoire de travail . . . A.2 Types de donn´ees et variables . . . . . . . . . . . . . . A.2.1 Les types de donn´ees . . . . . . . . . . . . . . . A.2.1.1 Les 4 types de donn´ees Matlab . . . . . . . . A.2.1.2 Le type complexe . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.1.3 Le type chaˆıne de caract`eres . . . . . . . . . . A.2.1.4 Le type logique . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.2 Les vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.2.1 D´efinir un vecteur . . . . .

¡ e¡λ ­ e ¡λ e¡3λ Exercice 4 - Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de sp´cialit´ (5 points) e e Dans le plan complexe muni d’un rep`re orthonormal direct ÔO; u, v Õ, on consid`re un point A d’affixe 2 et e e le cercle C de centre O passant par A. Dans tout l’exercice on note α le nombre complexe α 1   i 3 et α le nombre complexe conjugu´ du nombre ¯ e complexe α. 1. a) D´montrer que α2 ¡ 4α 2¯ ¡ 8. e α b) D´montrer que les points B et C d’affixes respectives α et α appartiennent au cercle

Universit´ e de Fribourg ¨ t Freiburg Universita D´ epartement de Math´ ematiques Mathematik Department Analyse 1 Norbert Hungerb¨ uhler Paul Turner Fribourg, septembre 2010 Table des mati`eres 1 Nombres r´ eels et complexes 1.1 1 Les axiomes des nombres r´eels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Axiomes alg´ebriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Axiomes d’ordre . . . . . .