Logarithme décimal

Fonction logarithmique               Fonction exponentielle | * Nom de la fonction : logarithme népérien * Notation : Log, et plutôt : ln, de nos jours (logarithme népérien) * Étymologie : du grec logos = science, logique, raison et arithmos = nombre. Neper : logarithme, Huygens : logarithmique, Euler : nombre de Neper, népérien, forgés sur Neper). * Ensemble de définition : R+* = ]0 ,+ [ Périodique : non. * Fonction dérivée : (ln x)' = 1/x. * Nom de la courbe associée

nombre « e » est tellement important en mathématiques qu’il porte plusieurs noms : « e », « nombre d’Euler » ou « constante de Néper ». D’autres nombres ont cette importance, dont le plus célèbre est π. En 2010, on connaissait mille milliards de décimales du nombre e. 3 2 Te ES Cours III. Cas des fonctions x | eu(x) : Soit u une fonction définie et dérivable sur I. On note eu, la fonction qui, à tout nombre x, associe exp(u(x)). Propriété : La fonction eu est dérivable sur I, et sa

différentielles . . . . . . I.2.1. Définitions générales et formule de Stokes I.2.2. Indice d’un lacet par rapport à un point . . I.3. Homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.4. Deux applications . . . . . . . . . . . . . . . . . I.4.1. Logarithme complexe . . . . . . . . . . . . I.4.2. Quelque propriétés de l’indice . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Devoir – Logarithme Népérien Exercice 1: Soit f la fonction définie par f  x = ln x 1 x sur ]0 ;∞[ 1) a) Calculez la limite en 0 de f . b) On admet que la limite de f en ∞ est 0. Quelles conséquences graphiques peut-on déduire de ces limites? ln x  2) a) Montrer que f '  x=− 2 x f '  x puis dressez le tableau des variation de f . b) Etudiez le signe de 1 1 3) a) Calculez f et f ' et en déduire l'équation de la tangente à Cf au point e e 1 d'abscisse . On notera T cette tangente.

int´egrale que l’on calcule en appliquant le th´eor`eme des r´esidus. III Int´ egrales de la forme : +∞ R(x) ln(x) dx 0 o` u R est une fraction rationnelle n’ayant pas de pˆole sur le demi-axe r´eel positif. M´ethode : On choisit la d´etermination du logarithme complexe correspondant a` la coupure C I \IR+ , puis on int`egre la fonction f (z) = R(z)(Logz)2 sur le chemin suivant : y r d x 0 On applique alors le th´eor`eme des r´esidus, puis on fait tendre r vers +∞ et d vers 0. 9 IV Int´ egrales de

strictement positif -  +  5. La représentation graphique de la fonction logarithme népérien admet une asymptote verticale une asymptote horizontale une tangente horizontale 6. eln x = x pour tout appartenant à ]0 ; + [ [0 ; + [ 7. Soit un réel a, ln(ea) – 2e + ln(1) = ea – 2e + e ea – 2e a – 2e 8. Soient et des réels strictement positifs, eln a + e - ln b = - ab a – b 9. Une primitive de la fonction logarithme népérien sur [0 ; + [ 10. Pour tout réel strictement inférieur

permerant de calculer direcement les 4 opérations de base. Il ee aussi celui qui a introduit la notion de binaire en Occident. 1.1 La représentation polynomiale Si nous manipulons les nombres de manière intuitive, c’est la plupart du temps dans la base décimale, naturelle et universelle. Mais cela ne doit pas masquer la nature même de la numération qui peut prendre plusieurs formes, parmi lesquelles on trouve la théorie des ensembles et la représentation polynomiale. La représentation polynomiale d’un nombre

l'arbre de probabilités pour calculer la probabilité de tirer deux boules de couleurs différentes. 3°) En déduire la probabilité de tirer deux boules de même couleur. Exercice 1 1°) Quelle est la fonction dérivée de la fonction logarithme (notée ln) sur ]0 ;+([ ? Justifier le sens de variation de cette fonction sur son ensemble de définition. 2°) On sait que ln2( 0,693 et que ln7( 1,946 . Sans utiliser de calculatrice précisez si l'équation ln x=1,5 admet une

LA FONCTION LOGARITHME NEPERIEN I.  II.  DEFINITION. ....................................................................................................................... 2  PROPRIETES ALGEBRIQUES. ......................................................................................... 2  A.  DEMONSTRATIONS. ............................................................................................................... 2  B.  PROPRIETES FONDAMENTALES DU LOGARITHME NEPERIEN. .............

. . . . . . . . . . . . . . e e 1.3.3 Codage bijectif d’un bloc . . . . . . . . . . . . . . . . Inverse modulaire : algorithme d’Euclide . . . . . . . . L’indicatrice d’Euler et le th´or`me de Fermat . . . . e e L’exponentiation modulaire et le logarithme discret . . Fonctions ` Sens Unique . . . . . . . . . . . . . . . . . a 1.3.4 Construction des corps premiers et corps finis . . . . . Tests de primalit´ et g´n´ration de nombres premiers . e e e Arithm´tique des polynˆmes . . . . . . . . . . .