Matrice antisymétrique

SESSION 2002 E3A Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE Epreuve de Mathématiques 3 MP Partie 0. Un exemple. 1. On a M = diag(1, 2, . . . , n). Soit alors A = (ai,j )1≤i,j≤n ∈ Mn (C). La matrice AM est la matrice (jai,j )1≤i,j≤n et la matrice MA est la matrice (iai,j )1≤i,j≤n . Par suite, AM = MA ⇔ ∀(i, j) ∈ {1, . . . , n}2 , iai,j = jai,j ⇔ ∀(i, j) ∈ {1, . . . , n}2 , (i − j)ai,j = 0 ⇔ ∀i = j, ai,j = 0. On a montré que ⇔ A ∈ Dn (C). C(M) = Dn (C). 2. Donc immédiatement, dim(C(M))

Définitions : Soient (Ω,a,P) un espace de proba et E l’espace des états. 1) Une matrice π = (π (x, y), x, y ∈ E) est une matrice stochastique si : π (x, y) ≥ 0 pour tous x, y ∈ E et z π(x, z) = 1 pour tous x ∈ E. 2) Soit π une matrice stochastique sur E. Une suite de variables aléatoires (Xn, n ∈ N) définies sur (Ω,a,P) à valeurs dans E est une chaîne de Markov de matrice de transition π si pour tous n ∈ N, x ∈ E, on a : P(Xn+1 = x /

CCP PC Math´matiques 1 e Probl`me 1 e 1) a) F ⊂ M, F contient la matrice nulle, est stable par combinaison lin´aire , donc F est un sous espace vectoriel e de M b) I et F sont des ´l´ments de F et ne sont pas proportionnels donc (I, F ) est une famille libre de F ee ax + bz −bx + cz ax − by az − bt x z et M F = , on obtient F M = Posons M = ay + bt −by + ct bx + cy bz + ct y t y = −z c−a comme b = 0 , M ∈ F ´quivaut a e ` , donc F est un R-espace vectoriel de dimension 2 x= t+ z b (I, F ) est donc

⇔ . Donc E1 = Vect(v2 ) où v2 = (1, 0, 1). −8x − 5y + 8z = 0 x=z   x − z = −5y 8   4x + 4y − 7z = 0 z=0 −8x − 8y + 8z = 0 ⇔ • v ∈ E4 = Ker(f − 4Id) ⇔ . Donc E4 = Vect(v3 ) où v3 = (1, −1, 0). y = −x  z=0 Dans la base B = (v1 , v2 , v3 ), la matrice de f est D = diag(0, 1, 4). 1 où P =  −2 0   1 1 0 −1  et donc 1 0 3) Soit m 1. Les formules de changement de bases permettent d’écrire A = PDP−1 en notant B0 = (e1 , e2 , e3 ) la base canonique de R3 , Am = matB (fm ) = P × matB0

; ce qui nécessite le calcul de la matrice de passage de la base (A, B, C) à la base (P1, P2, P3). II.1 Matrice de passage et matrice de covariance La matrice de passage s’obtient par diagonalisation de la matrice de covariance C associée aux Np points [Escofier, 1990]. En effet, calculer la matrice de covariance revient à faire l’approximation que les Np points font partie d’un ellipsoïde à trois dimensions (Figure 3) ; en diagonalisant cette matrice, on obtient : les axes de cet ellipsoïde

- Reduction des endomorphismes : ´nonc´ e e ´ Reduction pratique de matrices Exercice 1 - Diagonalisation - 1 - L1/L2/Math Sp´ e Diagonaliser les matrices suivantes : 0 3 2 0 2 −1     A =  3 −2 0  B =  −2 5 2  . 2 −3 0 −2 2 1 On donnera aussi la matrice de passage de la base canonique ` la base de vecteurs propres. a     Exercice 2 - Diagonalisation - 2 - L2/Math Sp´ e Expliquer sans calculs pourquoi la matrice suivante n’est pas diagonalisable : π 1 2   A =  0 π 3 . 0 0 π

vectoriel de F dont les ´el´ements ont tous des composantes mutuellement ind´ependantes, H l’espace des matrices r´eelles de taille (P×P), H•S le sous-espace de F des vecteurs al´eatoires obtenus par une transformation affine issue de H d’un vecteur de S, IP la matrice identit´e de H, et T le sous-espace de H des matrices triviales (i.e. de la forme D_ o`u D est une matrice diagonale de H et _ une matrice de permutation de H

preliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.5.1 Determinant d' une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.5.2 Mineurs principaux d' une matrice . . . . . . . . . . . . 55 2.5.3 Matrice hessienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.5.4 Matrice hessienne bordee . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.5.5 Matrices denie positive et semi denie positive . . . . . 57 2.5.6 Matrices denie negative et semi denie negative . . . . 57 2.5.7 Caraterisation .

multiple de M. Les multiples communs à A et B sont les multiples de M. Théorème. Si A et B sont unitaires, MD = AB. http ://www.maths-france.fr 1 c Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés. 2 RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES CARRÉES. 5) Polynômes irreductibles. Décomposition en produit de facteurs irréductibles Définition. Un polynôme P de degré au moins 1 est irréductible sur K = R ou K = C si et seulement si il n’existe pas un diviseur Q de P tel que 1 < degQ < degP

l’endomorphisme de matrice M dans cette base :  1 −1 1    M =  −2 0 −1    1   −2 −2 1. 2. 3. 4. 5. 6. Déterminer son polynôme caractéristique. Calculer ses valeurs propres. Donner une base des sous-espaces propres. Décider si f est diagonalisable. Donner éventuellement l’expression diagonalisée. Vérifier en utilisant les matrices de changement de base. EXERCICE 2. Faire, pour la matrice A suivante, une étude semblable à celle de l’exercice 1 pour la matrice M :  3