Matrice antisymétrique

Langerhans dont les cellules sécrètent l’insuline et le glucagon dans le sang. Un exemple de glande exocrine : Le pancréas sécrète le suc pancréatique dans l’intestin grêle. 2. Le tissu conjonctif : Tissu dont les cellules sont séparées par de la matrice extracellulaire contrairement aux épithéliums où les cellules sont jointives. Son nom vient du latin conjonctivus : qui sert à lier. Quantité : 2/3 du volume total chez l’homme. Origine embryonnaire commune : le mésoderme. Tissu très varié aux

claire rend possible l’utilisation des vecteurs et des matrices. Les lecteurs de ce livre devraient ˆtre assez familiers avec l’alg`bre matricielle. Cette annexe e e est destin´e ` aider ceux qui esp`rent se rafraˆ e a e ıchir la m´moire et r´unir les e e r´sultats avec une plus grande facilit´. Les lecteurs devraient noter que le e e Chapitre 1 contient aussi un nombre utile de r´sultats sur les matrices, en e particulier ceux concernant les matrices de projection. Dans cette annexe, des preuves seront

Soit la matrice A = On pose X = a b 0, 95 0, 01 . 0, 05 0, 99 où a, b sont deux réels fixés et Y = AX . Déterminer, en fonction de a et b, les réels c et d tels que Y = c d . Les résultats précédents permettent d’écrire que pour tout entier naturel n, X n+1 = AX n où vn Xn = . On peut donc en déduire que pour tout entier naturel n, X n = A n X 0 . cn 3. Soient les matrices P = 1 −1 5 1 et Q = 1 1 . −5 1 a. Calculer PQ et QP . En déduire la matrice P −1 en

Pour v´rifier qu’une matrice est sym´trique, il suffit de v´rifier que BT = B. Or, A est sym´trique, d’o` e e e e u A = AT , ce qui entraˆ ıne BT = (MAMT )T ￿ = (MT )T AT MT = MAMT = B. car (CD)T = DT CT ￿ Exercice A.6. a) Pour trouver l’angle de rotation, on peut utiliser l’´galit´ e e a−c cos 2θ = cot 2θ = . On a que b sin 2θ 3−3 cos 2θ =0= ⇐⇒ cos 2θ = 0 ⇐⇒ θ = 45◦ (puisqu’on suppose 2θ ∈ ]0◦ ,180◦ [ ). 2 sin 2θ √ ￿ ￿ 2 1 −1 La matrice de rotation est R45◦

candidat est effectivement solution, on introduit la matrice 2 hessienne (Dx L)(x1 , x2 , µ) du lagrangien relative aux variables x1 , x2 : ∂2L  ∂x2 (x1 , x2 , µ)  1  2 Dx L(x1 , x2 , µ) = ∂2L (x1 , x2 , µ) ∂xi ∂xj =  ∂2L ∂x2 ∂x1 ∂2L (x1 , x2 , µ) ∂x1 ∂x2   ,  ∂2L 2 (x1 , x2 , µ) ∂x2 (x1 , x2 , µ) qui est bien définie lorsque f est de classe C 2 et le sous-espace vectoriel Fh (x) dit noyau de la matrice jacobienne des contraintes au point x : Fh (x)

rangJp+1(p)=rangJp+1(p)⋮δ alors le système est compatible et donc dq=Jp+1,p(p)+.δ+Id-Jp+1,p(p)+.Jp+1,p(p).z Où A+ est la matrice pseudo inverse de A 5. Calcul de pseudo inverse 5.1. Prérequis A : m lignes, n colonnes r=rang(A) ≤ min(m,n) Exemple de calcul de r avec : A=1020234602122043 On barre ligne et colonne de chaque zéro non barré A=1020234602122043 Il ne reste plus qu’une matrice 2x2, r=min(m,n) r=min(2,2) r=2 5.2. Calcul de A+ * Si m≥n et r=n Alors A+=At.A-1.At * Si

la toolbox Gestion des variables et de l'espace de travail whos affiche les variables courantes, format long clear efface les variables et fonctions de la mémoire pack réorganise la mémoire size disp cd pwd renvoie la taille d'une matrice affiche une matrice de texte change le directory courant affihe le directory courant length renvoie la longueur d'un vcteur Commandes système dir, ls liste les fichiers delete suppression de fichiers getenv renvoie la variable d'environnement ! unix appelle

−1 . e a Nous avons ensuite t U U = t S −1t ΓΓS −1 = S −1 HS −1 = P D−1 P −1 P D2 P −1 P DP −1 = I3 et U est bien orthogonale. Il reste ` calculer U : a   0 1 0 U = ΓP D−1t P =  −1 0 0  . 0 0 −1  3. On a, pour A = (ai,j ) et B = (bi,j ) matrices de Mn (R) : (A | B) = 1≤i,j≤n ai,j bi,j . L’application ( | ) est donc le produit scalaire canonique de Mn (R), pour lequel la base canonique est une base orthonormale. 4. M + tM M − tM M + tM M − tM + avec ∈ Sn (R) et ∈ An (R). Comme 2 2

) = 0E e a pour k ∈ [[1, n − 2]] et g(ek ) ∈ Im g = Vect en−1 , en pour tout k et, notamment pour k ∈ {n − 1, n}. O O Donc Mat(g, B) = avec B ∈ M2 (R). De plus, O B 2 = rg(g) = rg (Mat(g, B)) = rg donc B est inversible. Donc B est semblable ` une matrice de la forme a O O O B avec B ∈ GL2 (R) . O B = rg ( O t B ) = rg( tB ) = rg(B ) e) On a directement Tr(B) = 0, Tr(B 2 ) = 2. Soient λ et µ, les valeurs propres dans C de B (pas forc´ment distinctes). B est trigonalisable dans e λ c λ2 c(λ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.2 Propri´t´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ee 2 La diagonalisation d’une matrice 2.1 D´finition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.2 CNS pour qu’une matrice soit diagonalisable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Exemples 3.1 avec valeurs propres simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3