Matrice diagonalisable

système différentiel linéaire homogène X (t) = A X (t) (S ) est un espace vectoriel de dimension p. Toute solution de (S) est la somme de la solution générale de (S ) et d'une solution particulière de (S). • Cas où A est diagonalisable Soit A diagonalisable ; notons λ1 ,. . . ,λ p ses valeurs propres et V1 ,λ,Vp une base de R p formée de vecteurs propres associés. 100 Analyse en 30 fiches 1 8 L'espace vectoriel des solutions du système homogène (S ) admet pour base : V1 eλ1

composante connexe de F . 2 f) Mn (R) ∼ = Rn . Mn (R) est donc un espace connexe. GLn (R) ⊂ Mn (R) est le sous-espace des matrices inversibles. GLn (R) est-il connexe ? La r´eponse est non. En effet, det : GLn (R) −→ R∗ est une application continue. Si GLn (R) ´etait connexe, son image par le d´eterminant serait connexe, or ici, ce n’est pas le cas car il existe des matrices inversibles de d´eterminant positif et de d´eterminant n´egatif. En fait, il est possible de montrer que GLn (R) poss`ede deux

éviter d’écrire un exposant trop long). Notation de la fonction logarithme : ln désigne le logarithme népérien et log le logarithme à base 10 sauf dans le cas de la loi log-normale. Factorielle n! 5 n(n − 1)(n − 2)...2 3 1. Matrice transposée : La matrice t A transposée de la matrice A est obtenue en permutant lignes et colonnes. XI A Statistique descriptive 1 • REPRÉSENTATION GRAPHIQUE ET NUMÉRIQUE DES DONNÉES 1.1 Généralités et principales définitions c Dunod – La photocopie non autorisée

usuelles modernes : – les exemples sont le plus souvent introduits à l’aide de « ♣ Exemple. – » et on indique la fin d’un exemple par le symbole « qed » ⊓ ; ⊔ – les problèmes d’interprétation sont indiqués par le symbole dans la marge ; – les vecteurs, matrices, et tenseurs sont en gras ; – les variables sont en italique ; – les fonctions, opérateurs, et nombres sans dimension sont en roman ; – le symbole O (O majuscule) signifie généralement « est de l’ordre de ». En fait, la définition est plus précise

yx  D  ε  z   zx     ε yy ε yz  ⋅  E y  ε zy     ε zz   E z  est la matrice des permittivités diélectriques, ses éléments ne dépendent que de M D ( M ) = ε ( M )  E ( M ) ,   7/42 Si en plus le milieu est homogène [ε ] ne dépend plus de M et D ( M ) = [ε ] E ( M ) , on montre que la matrice [ε ] est symétrique donc diagonalisable. En un point M ∈ D , il existe trois axes M x , M x , M x perpendiculaires entre eux appelés 1 2 3 axes

= l=1 ∂xl fk (x)ξl , x ∈ Ω , ξ ∈ RN , 1 ≤ k ≤ n. Ainsi, f est une application continue de Ω dans l’espace L(RN , Rn ) des applications lin´aires de RN dans Rn . De plus, la matrice de f (x) dans les bases e canoniques de RN et Rn est, pour tout x ∈ Ω, (∂xl fk (x)) 1≤k≤n 1≤j≤N c’est ` dire la matrice ` n lignes et N colonnes, dont l’´l´ment situ´ ` la k-i`me a a ee ea e ligne et la l-i`me colonne est ∂xl fk (x). e Th´or`me 1.1.2 (D´rivation des applications compos´es) Soient U oue e

Milieuhomogène et anisotrope Dansce cas les vecteursgradienthydraulique et vitessede déchargene sontpluscolinéaires.lls se déduisent I'un de I'autrepar un opérateur linéaire:le tenseurde perméabilité (k) indépendant de x, y etz (homogénéiTé), symétrique et diagonalisable. ( n* kru k", ) = (k) | kv" ky kv. I kyy k, [kr* ) Si les axes de coordonnéesutiliséssont les directionsprincipalesdu tenseurde perméabilité (k), il estramenéà saformediagonale et s'écrit: (k* o o) (k= ) 10 kY0l |.0 0 t,z) La loide Darcys'écrit

Milieuhomogène et anisotrope Dansce cas les vecteursgradienthydraulique et vitessede déchargene sontpluscolinéaires.lls se déduisent I'un de I'autrepar un opérateur linéaire:le tenseurde perméabilité (k) indépendant de x, y etz (homogénéiTé), symétrique et diagonalisable. ( n* kru k", ) = (k) | kv" ky kv. I kyy k, [kr* ) Si les axes de coordonnéesutiliséssont les directionsprincipalesdu tenseurde perméabilité (k), il estramenéà saformediagonale et s'écrit: (k* o o) (k= ) 10 kY0l |.0 0 t,z) La loide Darcys'écrit

en forme de mat´eriaux solides mous (le plus souvent, parce qu’ils ont ´et´e chauff´es) dans des matrices solides rigides. Essai r´ealis´e par Rachid Rahouadj avec des ´el`eves de l’ENSEM, en utilisant de la plasticine marqu´ee au feutre d’une grille r´eguli`ere. La configuration dite actuelle est pratiquement la configuration finale ; en effet il faut en g´en´eral ´eviter le contact entre les matrices fixe et mobile. 1.2.4 Lignes de courant ` un instant t donn´e, on peut caract´eriser un champ

Chapitre V • Espace de Hilbert Montrer, en pensant au théorème de Cayley-Hamilton, que N n’admet pas de racine carrée. (2) Soit toujours H = Cd avec d ≥ 2, et T ∈ L(H), inversible. En utilisant une décomposition de Dunford T = D + N avec D diagonalisable, N nilpotent et DN = ND, montrer que cette fois T peut s’écrire T = Q2 avec Q ∈ L(H). Ainsi, en dimension finie, un opérateur inversible a une racine carrée. On va voir que ce résultat ne passe pas à la dimension infinie. (3) Soit 0 < a < b < ∞