Matrice hessienne

Exercice 1 Dans cet exercice, n est un entier naturel supérieur ou égal à 2. On désigne par I la matrice unité de Mn(IR). 1) On note tr l’application linéaire qui à toute matrice de Mn(IR) associe sa trace, c’est-à-dire la somme de ses éléments diagonaux. a) Montrer que Im tr = IR. b) En déduire la dimension de Ker tr. c) Établir que Mn(IR) = Ker tr ⊕ Vect(I). 2) Soit f l’application qui, à toute matrice M de Mn(IR) associe f (M) = M + tr(M) I, a) Montrer que f est un endomorphisme de Mn(IR). b) Utiliser

= BT j j G( f ) En introduisant la notation (Valeur moyenne en fréquence) : G( f ) = 1 G ( f )df B∫ B Par ailleurs nous avons eu l’occasion de présenter précédemment l’expression de la vraisemblance Logarithmique en fonction de la matrice interspectrale : Lk , j = − Ln πΓ( f j ) − X k ( f j )Γ −1 ( f j )X k ( f j ) + On peut introduire : 1 ˆ Γ( f j ) = N et donc écrire : k =1, N ∑ X ( f )X ( f ) k j + k j ∑L k k, j ˆ = − N Ln πΓ ( f j ) + Tr Γ −1 ( f

Gauss 8 Matrices 8.1 8.2 Quelques matrices particulières 8.2.1 8.2.2 8.2.3 8.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Addition de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Multiplication par un nombre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Produit de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 107 108 108 108 109 110 Inversion de matrices et résolution

pour que x∗ soit un minimum global. Dans le cas où f est deux fois continuellement différentiable, une autre condition nécessaire est donnée par le théorème 2.2.2. Elle est appelée condition nécessaire du second ordre car elle fait intervenir la matrice hessienne de f (que nous noterons 2 f ), dont les éléments sont ses secondes dérivées partielles. Théorème 2.2.2 (condition nécessaire du second ordre). Soient f : Rn → R deux fois continuellement différentiable et x∗ ∈ Rn . Si x∗ est un minimum local de

∂x 2 ∂x ∂x ∂ x 1∂ x l 1 2 1 U =   ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u , , ... ,  ∂ x l2  ∂x l∂x1 ∂x l∂x 2    (matrice hessienne)    H.2 u est strictement croissante (i.e. ∂u > 0 ) ∂x On suppose que la satisfaction du consommateur augmente avec x (le consommateur est insatiable). H.3 u est différentiellement strictement quasi-concave i.e. ζ ' U ζ < 0 p o u r ζ ≠ 0 e t ζ ' ∂u = 0 , où U est la matrice hessienne de u. ∂x 8 Cette dernière hypothèse nous assure que les surfaces (courbes) d’indifférence sont

dérivées partielles de f en a sont dé…nies , on appelle matrice jacobéenne de f en a la matrice. 0 1 @f1 @f1 @f1 B @x1 (a) @x2 (a) ........ @xn (a) C B @f C @f2 B C 2 (a) (a) ........ ........ B C B @x1 C @x2 Df (a) = Jacf (a) = B ...... C ........ ........ ........ B C B ........ C ....... ........ ........ B C @ @fp A @fp @fp (a) (a) ........ (a) @x1 @x2 @xn où fj est la j ème application composante de f . Si p = n, le déterminant de la matrice jacobéenne est appelé jacobien. On le note ou D(f1 ;

R une @f fonction continue telle que les p fonctions , i = 1, ..., p soient continues au point (a1 , ..., ap ) 2 @xi E. Alors f est aussi continue en ce point. Preuve : Pas faite en cours. Définition 37 (MATRICE JACOBIENNE) La matrice des dérivées partielles de f : E ⇢ Rp ! Rq s’appelle la matrice jacobienne ou la Jacobienne de f . On la note J(f )x0 , elle a p colonnes et q lignes : 0 1 @f1 (x0 ) @f1 (x0 ) ... B @x1 @xp C B C . . B C 2 Mq,p (R). . . J(f )x0 = B . . C @ @fq (x0 ) @fq (x0 ) A ... @x1

NOTES DU COURS DE MATHS 3 CHRISTIAN LÉONARD 1. Rappels sur les espaces vectoriels Nous rappelons quelques propriétés fondamentales de l’espace vectoriel Rn . Nous revisitons en particulier les notions de base vectorielle et de matrice qui ont été introduites dans le cours de Maths 2. 1.1. Vecteurs, bases, parties libres. L’ensemble Rn est composé des éléments − → x = (x1 , . . . , xn ) = (xi )1≤i≤n où les xi , 1 ≤ i ≤ n sont des nombres réels. Rn est donc le produit cartésien de n copies

les conditions de second ordre, qui sont les conditions suffisantes : le déterminant de la matrice hessienne bordée de la fonction f doit être positif pour qu'il s'agisse d'un maximum (il doit être négatif en cas de minimisation). Ce déterminant est appelé "hessien bordé". Précisons que la matrice hessienne bordée, notée H, est la matrice des dérivées partielles secondes de la fonction f ; c'est une matrice symétrique. δ2L / δxδx δ2L / δyδx δ2L / δλδx δ2L / δxδy δ2L / δyδy δ2L / δλδy δ2L / δxδλ δ2L

de Laptev Laptev and al. [9] proposent une extension spatio-temporelle du détecteur de SIP de Harris [5] pour détecter les "Space-Time Interest Points", not STIP dans la suite de l’article. La détection des STIP est réalisée en utilisant une matrice Hessienne-Laplace H [8] définie, pour un pixel (x, y) au temps t d’intensité I(x, y, t), par :  H(x, y, t) =   ∂2 I ∂x2 ∂2 I ∂x∂y ∂2 I ∂x∂t ∂2 I ∂x∂y ∂2 I ∂y2 ∂2 I ∂y∂t ∂2 I ∂x∂t ∂2 I ∂y∂t ∂2 I ∂t2    (1) De manière analogue au détecteur