Matrice hessienne

différents alors c’est un point selle * si l’une est nulle alors pas de conclusion 2. Exemple Il suffit de calculer les valeurs propres de la matrice hessienne et d’appliquer la règle de décision. Pour f(x, y) = − 2x 2 − y 2 + 4x + 4y − 3 ∂f (X) = −4x + 4 = 0 ∂x ∂f (X) = −2y + 4 = 0 ∂y CPO :  A(1; 2) seul point candidat . CSO : ∇ 2 f(x, y) = est une matrice diagonale. 0 −2 La méthode des valeurs propres s’impose −4 0 car il n’y a pas de calculs supplémentaires à faire pour les trouver. Ce sont

ˆtre faits et l’on obtient e e e e ∂f (x, y) = 6(x2 + y) ∂x ∂f (x, y) = 6(x − y) . ∂y Il en d´coule que les deux points stationnaires sont (0, 0) et (−1, −1). e La deuxi`me ´tape dans la d´termination des extrema locaux fait intervenir la matrice hessienne, e e e en d’autres termes les d´riv´es secondes. La m´thode, quoique majoritairement appliqu´e dans R2 e e e e p avec p ∈ N∗ . Vous l’avez d´j` maitris´e dans le cas des dans ce cours, est valable pour tout R ea e fonctions ` une seule variable

Extrémum : V (q1 , q 2 , ∀i , qn ) = −U (q) ∂V (q 0 ) = 0 ⇔ ∇V (q 0 ) = 0 ∂qi  ∂ / ∂q1   ∇=   ∂ / ∂qn    le gradient de V : ∇V (q 0 ) = 0 maximum local :  la matrice hessienne de V : ∇∇ T V (q 0 ) est définie négative  le gradient de V : ∇V (q 0 ) = 0 minimum local :  la matrice hessienne de V : ∇∇ T V (q 0 ) est définie positive  5 1.4 Petits mouvements au voisinage d’un équilibre Objectif : linéarisation des équations du mouvement On admet que : qi (t ), qi

très éloigné du minimum La pluspart utilisent le DL de la fonction à plusieurs variables (N variables) X=P+[x1, …, xn] où P est un vecteur b est le gradient A est appelé le « Hessien » de f(x). C’est simplement la matrice des dérivées secondes au point P. Exemple de Hessien : Ici la fonction est f(x,y,z) Hessien : A= Alors le terme en : ⎡ ∂2 f ⎢ ⎢ ∂x2∂x ⎢∂ f ⎢ ∂y∂x ⎢ 2 ⎢∂ f ⎢⎣ ∂z∂x ∂2 f ∂x∂y ∂2 f ∂y∂y ∂2 f ∂z∂y ∂2 f ⎤ ⎥ ∂x∂z ⎥ ∂2 f ⎥ ∂y∂z ⎥ ⎥ 2 ∂ f ⎥ ∂z∂z

dichotomiques en termes de variable latente . . . . . . 21 2 Estimation des Paramètres par la Méthode du Maximum de Vraisemblance . . . . . . 26 2.1 Estimation par maximum de vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.1 Matrices Hessiennes et Matrices d’information de Fischer . . . . . . . . . 28 2.1.2 Unicité du maximum global de la fonction de log-vraisemblance . . . . . . 30 2.2 Algorithmes de maximisation de la vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3 Propriétés Asymptotiques

H(x,y) = 2y2 – 2y + 6xy 4xy – 2x + 3x2 4xy – 2x + 3x2 2x2 Remplaçons les valeurs de x et de y dans la matrice Hessien H(x,y) = Déterminant = ad – bc = > 0 Valeur de a = > 0 La matrice est définie positive, donc ( ½ , ¼ ) est un minimum local. 2.5 Optimisation sous contrainte A. Tracer le graphe d’une reformulation de f(x, y) tenant compte de la contrainte

Applications diff´erentiables . . . . . . . A.2.2 Vecteur gradient . . . . . . . . . . . . . A.2.3 Matrice hessienne . . . . . . . . . . . . . A.2.4 D´eveloppements de Taylor . . . . . . . . A.2.5 Espace tangent . . . . . . . . . . . . . . A.3 Rappels sur les matrices . . . . . . . . . . . . . A.3.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.2 Norme matricielle . . . . . . . . . . . . A.3.3 Matrice (semi-)d´efinie positive/n´egative . . . . . . . . . . . . . . 111 111 111

dans le plan xy. e e 2. Calculer le gradient de f . 3. Trouver un vecteur normal au graphe de cette fonction au point (1, 2, f (1, 2)). 4. Ecrire l’´quation du plan tangent au graphe de f au point (1, 2, f (1, 2)). e e e 5. Calculer la Hessienne de f, la matrices de d´riv´es partielles secondes. 6. Ecrire la formule de Taylor de f ` l’ordre 1 autour du point (1, 2). a 7. Le point (1, 04; 1, 97) se trouve au voisinage du point (1, 2). En utilisant la formule de √ Taylor ` l’ordre 1 trouver la valeur

dans l'article multi-indice), et où le reste vérifie l'inégalité pour tous les α tels que |α| = n + 1. En particulier, pour une fonction deux fois différentiable en à valeur dans , on peut écrire pour tout  : où est le gradient de et est sa matrice hessienne évaluée en . Exemple  : Soit une fonction deux fois différentiable en à valeur dans , alors pour tout Notes et références

second ordre: condition portant Condition du second ordre: condition portant  sur les dérivées secondes 2.1. Maximum et minimum sans  contraintes • Gradient d’une fonction à 2 arguments: 2.1. Maximum et minimum sans  contraintes • Matrice hessienne d’ i h i d’une fonction à 2  f i à arguments: • Théorème de Schwarz: 2.1. Maximum et minimum sans  contraintes 2.1. Maximum et minimum sans  contraintes Exemple de propriétés en termes de concavité‐ convexité de différentes fonctions usuelles: