Matrice hessienne

t: • Pour chaque t fix´, σ(t, S) est une spline cubique avec noeuds S0 . . . SP . e • Pour chaque p = 0, . . . , P , σ(t, Sp ) est lin´aire par morceaux avec noeuds t0 , . . . , tQ e q=0...Q • La volatilit´ est compl´tement d´termin´ par la matrice de coefficients (Σpq )p=0...P , o` Σpq = σ(tq , Sp ). e e e e u Pour r´soudre le probl`me de calibration, on minimise la fonctionnelle e e N J(Σ) = i=1 wi (C(Ti , Ki , Σ) − CM (Ti , Ki ))2 + c1 p,q 2 σS (Sp , tq ) + c2 (P

continue et injective, alors θn converge presque sûrement vers θ∗ et θn est un estimateur asymptotiquement sans biais, c’est-à-dire que lim IE θn − θ∗ = 0. n→+∞ 2. Si, de plus, f (•; θ) est C , de hessien convergent uniformément au voisinage de θ∗ ainsi que t Df (•; θ) · Df (•; θ), la limite étant une matrice définie positive kΓ(θ∗ ) ; alors θn √ est asymptotiquement gaussien et n(θn − θ∗ ) converge en loi vers une loi gaussienne N (0; σ 2Γ−1 (θ∗ )). Remarque 18 La convexité de SCR(θ) n’étant plus acquise

Second Orde (CSO) d 2L > 0 ⇒ H3 < 0    Q' P λQ' L = PL  ⇒ K = K on tire K ou que l’on injecte  Q' L PL λQ' K = PK  Cours d’Economie politique 51 − λQK 2 ' ' − λQKL ' ' − QK ' − λQKL ' ' − λQL2 ' − QL ' < 0 La matrice hessienne est bordée par les productivités 0 − QK ' − QL ' marginales qui sont les prix duaux. Exercices : Voir dossier 4 – Producteur 14 Section 3 - Les élasticités 15 A- Elasticité de l’offre εQ P = ∆Q Q ∆P P ou dQ Q avec les mêmes

ou l’espace est r´ flexif (voir Annexe). Nous allons donc faire e la discr´ tisation du probl` me. e e 4.4 Mod` le discret e On va maintenant consid´ rer des images discr` tes (ce qui est le cas en pratique). Une image e e ` discr` te est une matrice N × N que nous identifierons a une vecteur de taille N 2 (par exemple e en la rangeant ligne par ligne). On note X l’espace euclidien RN ×N et Y = X × X. On munit X du produit scalaire usuel (u, v)X = uij vij , 1≤i,j≤N et de la norme associ´ e

règle de Cramer fournit l’expression des dérivées partielles suivantes : ∂L b 2 = L [ U '(Id )(P '− C ')+ U '(I nd )C '] ( T '' + C '' ) ∂p d >0 (2.73) L’expression (2.73) ci-dessus fait intervenir au dénominateur le déterminant de la matrice hessienne, (d), qui est strictement positif. Son signe dépend alors du numérateur, qui est lui aussi positif. En conclusion lorsque la probabilité de détection s’élève la fraude fiscale s’amenuise au profit de la part de revenu légal, résultat standard

x 2 En remplaçant la valeur de x2 dans la contrainte technique, on aura alors : Les conditions de second ordre consistent à vérifier qu’il s’agit bien d’un minimum et ce en s’assurant que le Hessien Bordé est négatif. Cette vérification demande des notions de calcul des déterminants des matrices. Elle ne sera pas traitée dans le cadre du présent cours. 3 50 w   w Q 2 w  w Q 2  w Q 2 2 w * * Q  2x1x 2  Q  2x1  1 x 1   2x1 1  x1   2   x 2  1  2    1   2w  w

multiple consiste à déterminer le vecteur des coefficients B = b0 , b1 , . . . , bk de manière à minimiser la somme des carrés des écarts (équ. 2.22). n min (Yi − Yˆi )2 (2.22) i=1 Il s’agit dès lors d’un problème aux dérivées partielles. Soit X la matrice de dimension n × k (équ. 2.23) :    X=   1 x1,1 . . . x1,k 1 x2,1 . . . x2,k .. .. .. .. . . . . 1 xn,1 . . . xn,k       (2.23) on obtient le vecteur des coefficients B en résolvant l’équation 2.24 (Makridakis et al., 1983) : B = [X