Matrice hessienne

jouer le rôle de la dérivée : Rappel : On appelle la matrice jacobienne de la matrice à p lignes et n colonnes : La première colonne contient les dérivées partielles des coordonnées de par rapport à la première variable , la deuxième colonne contient les dérivées partielles des coordonnées de par rapport à la deuxième variable et ainsi de suite. Théorème : Soit D. Soit une bijection de classe la valeur absolue du déterminant de la matrice jacobienne de Exemple : Calculer au domaine . Alors

initial, de dimension n.p, FJ/I le tableau des profils en ligne (fréquences conditionnelles, conditionnées par les items en ligne) et FI/J celui des profils en colonne. DI désigne la matrice diagonale portant sur sa diagonale les totaux en ligne (ou totaux marginaux) et DJ celle des totaux en colonne. Les différentes matrices précédentes sont naturellement liées: F j / i = DI−1 K et Fi / j = KDJ−1 Le produit scalaire de deux vecteurs u et v dans Rp pour la métrique du chi-deux est donné par le produit

décomposition des noyaux Théorème : Si alors , Corollaire : Si sont deux à deux premiers entre eux alors on a : Corollaire : Si et , les sont deux à deux premiers entre eux. Alors Corollaire : ( et ). . . 4. Polynôme de matrice Tout est identique pour les matrices en remplaçant par II. Réduction d’un endomorphisme 1. Valeurs propres et vecteurs propres d’endomorphisme a. Droite stable Problème : Soit une droite, on cherche une CNS pour que D soit stable par . b. Valeurs propres

suivre - Deuxième année 1. On commence par exprimer le domaine en fonction de r et θ. On a en effet : x ≥ 0 et y ≥ 0 =⇒ θ ∈ [0, π/2]. D’autre part, x2/3 + y 2/3 ≤ 1 =⇒ r2 ≤ 1 =⇒ 0 ≤ r ≤ 1. Calculons encore le jacobien de ce changement de variables. La matrice jacobienne a pour forme : cos3 θ −3r cos2 θ sin θ . sin3 θ +3r sin2 θ cos θ http://www.bibmath.net 6 Exercices - Intégrales multiples : corrigé Le déterminant jacobien vaut donc : 3r sin2 θ cos2 θ + 3r cos2 θ sin4 θ = 3r sin2 θ cos 2θ. On en déduit

Triangularisation, jordanisation, exponentielle de matrices 1 Triangularisation Soient E un espace vectoriel de dimension n et ϕ un endomorphisme de E de matrice A dans une base donn´e. On suppose que le polynˆme caract´ristique est scind´ et soit e o e e λ1 , . . . , λn les valeurs propres (non n´cessairement 2 ` 2 distinctes). e a Th´or`me 1.1. Il existe une base telle que P ´tant la matrice de changement de base la e e e matrice P −1 AP estr triangulm`re sup´rieure. e e 

2008/2009 Le rôle des matrices dans la 3D Problématique : en quoi les matrices sont-elles indispensables à la réalisation d’images 3D ? HEI 1F / D1 Préface Notre but principal pour ce projet que nous nous étions fixés était de prendre un sujet en relation avec le programme scientifique de cette année et étant en classe de Spécialité Mathématiques, nous avons logiquement optés pour les Mathématiques. De ce fait, nous avons voté pour le premier chapitre et les matrices étant donné également

intéressons au choix des constituants élémentaires, c'est-à-dire à la nature physique des renforts et de la matrice, en nous focalisant essentiellement sur les composites "modernes" ; nous n'abordons donc pas le cas des multi-matériaux traditionnels ou naturels comme les bétons (armés ou non) ou les bois. Il est d'usage de classer les composites par la nature de leur matrice, pour deux raisons : la matrice assure toutes les fonctions autres que la tenue mécanique (voire, dans le cas des matériaux "à grande

on note f ′′ij la dérivée croisée de f par rapport à xi et xj (f ′′ij = ∂2f(x1,x2,...,xn) ∂xi∂xj ) Déterminant d’une matrice : Le déterminant d’une matrice est défini par induction : • Une matrice (1,1) est juste un scalaire a. Le déterminant de cette matrice est égal à a. • Matrice (2,2) : soit M = ( a b c d ) . Le déterminant de M s’écrit ∣∣∣∣∣ a b c d ∣∣∣∣∣ = ad− bc. • Matrice (n, n) : soit M =   a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... . . . ... an1 an2 · · · ann   Pour calculer

point de minimum local pour f alors : • x0 est un point critique pour f : Df(x0) = 0 • la matrice hessienne Hf(x0) est semi-définie positive (SDP) : hTHf(x0)h � 0 8h 2 Rn Théorème 2.7.4 [Condition nécessaire de maximum local] Soient D un ouvert de Rn, f : D 7! R une fonction de classe C2 et x0 2 D. Si x0 est un point de maximum local pour f alors : • x0 est un point critique pour f : Df(x0) = 0 • la matrice hessienne Hf(x0) est semi-définie négative (SDN) : hTHf(x0)h  0 8h 2 Rn ATTENTION : les conditions

X *  (0, 0) n’est pas un optimum. C’est un point singulier, appelé aussi point de selle. Les conditions du premier ordre ne sont donc pas suffisantes. Définition Le Hessien est une façon d’écrire les dérivées secondes à l'aide d’une matrice (ou tableau). Soit f ( x, y) une fonction deux fois dérivable, alors le Hessien est : (  f xx2) ( x, y ) H ( x, y )   ( 2 )  f yx ( x, y )  ( f xy2) ( x, y ) . ( f yy2) ( x, y )  ( ( On a toujours f xy2) ( x, y)  f yx2) ( x