Matrice hessienne

en compte ces 4 variables est simplement une loi de R4 par exemple une loi multi-normale de dimension 4. Nous aurons donc pour le groupe j ∈ {1, 2, 3} f (x|y = j) = 1 1 exp − (x − µj )′ Σ−1 (x − µj ) , j 4/2 (2π|Σj |) 2 où Σj ∈ M(4, 4) est la matrice symétrique, carrée d’ordre 4 de variance du groupe j et µj ∈ R4 est le vecteur moyenne du groupe j. Cependant avec ce modèle, dont les paramètres sont inconnus, il est impossible de prévoir l’espèce j au vu d’une observation nouvelle X = x. En effet

. . . . . . . 23 23 23 23 24 25 26 27 Réduction des endomorphismes 6.1 Polynômes d’endomorphismes . . . . . . . 6.2 Valeurs propres et espaces caractéristiques 6.3 Diagonalisabilité et trigonalisabilité . . . . 6.4 Topologie de l’algèbre des matrices . . . . 6.5 L’exponentiation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

qu’une classe de MLP, c’est-à-dire qu’il n’y a qu’un nombre fini de MLP qui représentent cette fonction et que l’on sait tous les écrire à partir de l’un d’entre eux. L’intérêt de considérer des MLP irréductibles est que cela évite que la matrice hessienne de la fonction d’erreur soit non inversible sur un ensemble de paramètres d’intérieur non vide. On peut ne considérer que des MLP irréductibles en imposant des contraintes comme "la valeur absolue d’un poids reliant une unité cachée à la sortie

En option, pour l’´ tude sp´ cifique des lois des estimateurs, une quatri` me hypoth` se consid` re la e e e e e normalit´ de la variable d’erreur U (N (0, σ 2 I)). Les εi sont alors i.i.d. de loi N (0, σ 2 ). e Les donn´ es sont rang´ es dans une matrice X(n × (p + 1)) de terme g´ n´ ral xj , dont la premi` re e e e e e i colonne contient le vecteur 1 (xi = 1), et dans un vecteur Y de terme g´ n´ ral yi . En notant les vecteurs e e 0 ε = [ε1 · · · εp ] et β = [β0 β1 · · · βp ] , le mod` le s’´ crit

_ ___ 1.2.2 Méthodologie ___________________________________________________________ 1.2.2.1 Mise à l’échelle des coordonnées des PI ____________________________________ 1.2.2.2 Valeurs accumulées dans la matrice As_____________________________________ 1.2.2.3 Normalisation de la matrice As ___________________________________________ 1.2.2.4 Mise en relief des PI ‘importants’ par une TFD ______________________________ - 30 - 30 - 32 - 34 - 34 - 34 - 35 - 35 - 36 - 36 - 2 Identification______________________________________________

pente)  s2 x  a = y − b¯ = y − sxy x (la constante). ¯ x ¯ ¯  s2 x Pour v´rifier qu’il s’agit bien d’un minimum, on doit montrer que la matrice hessienne des d´riv´es secondes e e e est d´finie positive. Cette matrice vaut : e  2  ∂ M (a, b) ∂ 2 M (a, b)  ∂a2 ∂a∂b   H= 2  ∂ M (a, b) ∂ 2 M (a, b)  . ∂a∂b ∂b2 On a ∂ 2 M (a, b) = 2n, ∂a2 La matrice hessienne vaut donc n ∑ ∂ 2 M (a, b) =2 x2 , i ∂b2 i=1 n ∑ ∂ 2 M (a, b) =2 xi = 2n¯. x ∂a∂b i=1 et ( n H=2 ∑ xi  1 . . . X = 1  . . . 1

Différentielle et accroissement . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.4 Recherche d’extrema locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Méthode de Gauss pour résoudre des systèmes d’équations linéaires 2.7 Matrices, applications linéaires et directions conservées . . . . . . . 2.7.1 Comment trouver la matrice d’une symétrie donnée ? . . . . Symétrie par rapport à un plan . . . . . . . . . . . . . . . . Symétrie par rapport à une droite . . . . . . . . . . . . . . . En résumé . . . . . . . . . . . . . .

Différentielle et accroissement . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.4 Recherche d’extrema locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Méthode de Gauss pour résoudre des systèmes d’équations linéaires 2.7 Matrices, applications linéaires et directions conservées . . . . . . . 2.7.1 Comment trouver la matrice d’une symétrie donnée ? . . . . Symétrie par rapport à un plan . . . . . . . . . . . . . . . . Symétrie par rapport à une droite . . . . . . . . . . . . . . . En résumé . . . . . . . . . . . . . .

commerciales © Dunod, Paris, 2008 ISBN 978-2-10-053975-8 Table des matières Préface vii Chapitre 1 Compléments d’algèbre linéaire 1 Somme directe de sous-espaces, sous-espaces stables 2 Réduction des endomorphismes 3 Réduction d’une matrice 1 1 7 11 Chapitre 2 Algèbre bilinéaire 1 Produit scalaire 2 Espaces euclidiens 3 Endomorphismes symétriques 24 24 35 43 Chapitre 3 1 2 3 4 Cas des fonctions de signe quelconque 59 59 64 71 77 Éléments de topologie

modèle 4.1 Analyse des résidus . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Résidus et valeurs aberrantes . . . 4.1.2 Analyse de la normalité . . . . . . 4.1.3 Analyse de l’homoscédasticité . . . 4.1.4 Analyse de la structure des résidus 4.2 Analyse de la matrice de projection . . . . 4.3 Autres mesures diagnostiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .