Matrice triangulaire

P(X_{n}=x_{j}∣X_{n-1}=x_{i})=P(X_{n+k}=x_{j}∣X_{n+k-1}=x_{i}) Matrice de transition: Vecteur et matrice stochastique: Un vecteur (ligne) formé de nombre réels v=(v_{x₀},v_{x₁},...,v_{x_{n}}) est appelé vecteur stochastique si et seulement si -- toutes ses composantes sont positives ou nulles i.e. v_{x_{i}}≥0 pour 0≤i≤n. -- la somme de ses composantes est égale à un i.e. v_{x₀}+v_{x₁}+...+v_{x_{n}}=1 Une matrice carrée P=(p_{x_{i}x_{j}}) est stochastique si chacune de ses lignes

dimension finie : on notera toujours · la norme, indépendamment de l’espace utilisé. Dans l’espace Rn , on note (e1 , . . . , en ) la base canonique et on identifie le plus souvent une application linéaire et sa matrice dans la base canonique. Par ailleurs, on notera AT la transposée d’une matrice A. L’espace Rn est naturellement muni d’un produit scalaire canonique, noté ·, · , et défini pour deux vecteurs x, y ∈ Rn par x, y = xT y. Définition 1 (différentielle). Soient U un ouvert de Rn et a ∈ U . Une

Applications linéaires, matrices, déterminants Pascal Lainé Applications linéaires, matrices, déterminants Exercice 1. Soit défini pour tout ( ( ) ) par ( ) 1. Montrer que est linéaire. ( ). 2. Déterminer Allez à : Correction exercice 1 Exercice 2. Soit ( ) définie pour tout vecteur ( ) ( 1. Montrer que est une application linéaire. ( ( )). 2. Donner une base de ( ), en déduire 3. Donner une base de ( ). Allez à : Correction exercice 2 Exercice 3

distances pour comprendre les similarités et dissimilarités. La distance entre Karditsa et Volos est : d K2 ,V  (1,27  (0,55)) 2  (1,50  (0,04)) 2  2,9 Calculées deux à deux les distances peuvent être retranscrites au travers de la matrice carrée dite matrice des proximités : Villes Karditsa Larissa Volos-Nea Ionia Trikala Karditsa 0,0 14,9 2,9 5,6 Larissa 14,9 0,0 5,3 2,2 VolosNea Ionia 2,9 5,3 0,0 1,0 Trikala 5,6 2,2 1,0 0,0 1 Si nous n’avions pas normé les variables, la distance

e1 +6e2 +2e3  f (e3 ) = e1 −e3 Ecrire la matrice de f dans la base canonique de R3 . Déterminer les sous-espaces vectoriels ker f et Im f . 2 Exercice 12 On pose   1 2 A =  0 −1  . 3 4 1. On considère l'application linéaire f : R2 → R3 représentée, dans les bases canoniques, par la matrice A. Calculer l'image par f du vecteur (2, −1). 2. On considère l'application linéaire f : R1 [X] → R2 [X] représentée, dans les bases canoniques, par la matrice A. Calculer l'image par f du polynôme P =

problème est l’étude de certaines fonctions définies sur des espaces de matrices. Dans tout le problème, on fixe un entier ? ∈ ℕ∗ et on note ℳ? (ℝ) (respectivement ℳ? (ℂ)) l’espace des matrices carrées à coefficients réels (respectivement complexes) de taille ? × ?. Si ? et ? sont deux entiers entre 1 et ?, on note ??,? le coefficient placé ligne ? et colonne ? dans la matrice ?. On rappelle que ? 0 = ?? . On note Tr(?) la trace de la matrice ?. Les parties I, II et III sont indépendantes des parties IV et V

bien un système de la forme A  = B, où A est la matrice (A1 x2  1 3x1 – 1  0 7x1 – 7 x2 = – 1 3.  2 – 1x  =  5    2 – 1x  =  5    . 2 2 2x1 = 5 + x2 = 4 2 Le système S5 a alors pour unique solution le vecteur  . – 1 EXERCICE 7 1. S6 La matrice élargie du système S6 est : . A2).. Or Le système S6 est donc équivalent au système : qui n’a pas de solution puisque est impossible. 2. S7 La matrice élargie du système S7 est : .  Or  Le système

consacr´e ` a la primitivation et au calcul int´egral ainsi qu’`a ses applications au calcul d’aires, de volumes et de travail d’une force. Le huiti`eme chapitre pr´esente quelques notions de calcul matriciel (op´erations entre matrices, calcul d’un d´eterminant et inversion d’une matrice). Enfin, le neuvi`eme chapitre est une introduction aux nombres complexes. Je m’en voudrais de ne pas profiter de cette occasion pour exprimer toute ma gratitude `a Fran¸coise Bastin pour l’accueil qu’elle r´eserve toujours

= A où  Opérations sur les matrices Exercice 1 [ 01247 ] [correction] Pour A ∈ Mn (K), on note σ (A) la somme des termes de A. On pose   1 ··· 1   J =  ... (1) ...  ··· 1 1 Vérifier J.A.J = σ(A).J. 1 A= 0 0 Exercice 6 [ 03976 ] [correction] Soit A ∈ GLn (R) vérifiant 0 4 0  1 2  16 A + A−1 = In Pour k ∈ N, calculer Ak + A−k . Problèmes de commutation Exercice 2 [ 01248 ] [correction] Pour i, j, k, ∈ {1, . . . , n}, on note Ei,j et Ek, les matrices élémentaires de Mn (K) d’indices

ASI 3 Méthodes numériques pour l’ingénieur Introduction : vecteurs, matrices et applications linéaires Opérations sur les vecteurs Vecteur x base (canonique) bi , i=1,n espace vectoriel V sur le corps des réels combinaison linéaire sous espace vectoriel base, dimension  x1      n     x = xi = ∑ xi bi   i =1   x   n  soient ( xi ∈ V )i = 1, k 0     bi =  1     0   k x ∈ Rn ∀x, y ∈ V , ∀λ , µ ∈ R λx + µy ∈ V i =1 k  α i xi α i ∈ R ∑  