Modus ponens

procédera ensuite par conditions nécessaires, pour finalement prouver que B est vraie. Attention : on prouve ici que B est vraie si A est vrai, et pas que B est vrai dans l’absolu. À ce sujet, voir plus loin la règle de raisonnement dite du « modus ponens ». Mathématiques en MPSI © Jean-Michel Ferrard mathprepa.fr Page 22 1.2 Raisonnements classiques Chapitre 1 : Logique et ensembles – Mettre en évidence les liens logiques entre les phases successives de la démonstration. Le symbole

complexes, ni des raisonnements qui font intervenir des relations ou des fonctions. Les raisonnements avec énoncés complexes ont été étudiés par les logiciens stoïciens. Les formes les plus courantes en sont le modus ponens : S’il pleut, il fait mauvais Il pleut Il fait mauvais et le modus tollens : S’il pleut, il fait mauvais Il ne fait pas mauvais Il ne pleut pas 13. L’article « The Formal Theory of Syllogisms », cité plus haut, contient une preuve que ces règles éliminent exactement

de démonstration. 2 - Connecteurs propositionnels. Conjonction, disjonction : tables de vérité. négations, méthode de démonstration. 3- Implication et équivalence. Tables de vérité. Négations. Premières méthodes de démonstration. B) Raisonnement Modus ponens, raisonnement par cas, contraposition et raisonnement par l’absurde. Analysesynthèse. 6. Géométrie plane A) Rappels sur le plan P 1 - Points et vecteurs : vecteur associé à deux points. Ensemble P des vecteurs du plan. Opérations d’espace vectoriel

relation de causalité : le fait que P =⇒ Q est vraie serait compris comme entraînant que Q découle de P . Il n’en est rien en logique pure. Par contre, une sorte de réciproque de ce raisonnement est vraie : on l’appelle “règle d’inférence”, ou “modus ponens” : pour toutes propositions P et Q, on a (P ∧ (P =⇒ Q)) =⇒ Q 4 Les règles de De Morgan nous permettront même de nous contenter de deux connecteurs, et on verra en TD un connecteur qui peut réaliser cette prouesse tout seul ! 14 Autrement

relation de causalité : le fait que P =⇒ Q est vraie serait compris comme entraînant que Q découle de P . Il n’en est rien en logique pure. Par contre, une sorte de réciproque de ce raisonnement est vraie : on l’appelle “règle d’inférence”, ou “modus ponens” : pour toutes propositions P et Q, on a (P ∧ (P =⇒ Q)) =⇒ Q 4 Les règles de De Morgan nous permettront même de nous contenter de deux connecteurs, et on verra en TD un connecteur qui peut réaliser cette prouesse tout seul ! 14 Autrement

relation de causalité : le fait que P =⇒ Q est vraie serait compris comme entraînant que Q découle de P . Il n’en est rien en logique pure. Par contre, une sorte de réciproque de ce raisonnement est vraie : on l’appelle “règle d’inférence”, ou “modus ponens” : pour toutes propositions P et Q, on a (P ∧ (P =⇒ Q)) =⇒ Q 4 Les règles de De Morgan nous permettront même de nous contenter de deux connecteurs, et on verra en TD un connecteur qui peut réaliser cette prouesse tout seul ! 14 Autrement

proposition vraie, et P ⇒ Q est une proposition vraie, on peut affirmer que Q est une proposition vraie. Un résultat connu comme étant vrai (c’est à dire un théorème) ne peut entraîner qu’un autre résultat vrai. Cette règle est connue sous le nom de « modus ponens ». C’est le raisonnement de base que vous reproduirez un grand nombre de fois. Et même, vous tiendrez ce raisonnement tellement de fois (ou encore, vous serez tellement souvent dans la situation où l’hypothèse P est vraie) que vous risquez à terme

proposition vraie, et P ⇒ Q est une proposition vraie, on peut affirmer que Q est une proposition vraie. Un résultat connu comme étant vrai (c’est à dire un théorème) ne peut entraîner qu’un autre résultat vrai. Cette règle est connue sous le nom de « modus ponens ». C’est le raisonnement de base que vous reproduirez un grand nombre de fois. Et même, vous tiendrez ce raisonnement tellement de fois (ou encore, vous serez tellement souvent dans la situation où l’hypothèse P est vraie) que vous risquez à terme

¬P, A, A → H}. L’ensemble K1 est inconsistant car il contient les deux faits opposés P et ¬P . En revanche, si l’on considère K2 le sous-ensemble de K1 tel que K2 = {A, A → H}, celui-ci est consistant, et l’on constate que, par application du modus ponens, l’on peut déduire le fait H. Par transposition, il faut en quelque sorte imaginer, à une très grande échelle, que K2 est une microthéorie de l’ontologie universelle K1 . Ce qu’il faut retenir ici, c’est que même s’il existe des inconsistances

proposition vraie, et P ⇒ Q est une proposition vraie, on peut affirmer que Q est une proposition vraie. Un résultat connu comme étant vrai (c’est à dire un théorème) ne peut entraîner qu’un autre résultat vrai. Cette règle est connue sous le nom de « modus ponens ». C’est le raisonnement de base que vous reproduirez un grand nombre de fois. Et même, vous tiendrez ce raisonnement tellement de fois (ou encore, vous serez tellement souvent dans la situation où l’hypothèse P est vraie) que vous risquez à