Morphisme

Z} où n ∈ N. 43 Groupes 2.3 Morphismes de groupes • Définitions Soit G et G deux groupes notés multiplicativement. Une application f, de G dans G , est un morphisme de groupes si, et seulement si, ∀x ∈ G ∀y ∈ G f (x y) = f (x) f (y) . Si, de plus, f est bijective, on dit que f est un isomorphisme de groupes. Les deux groupes sont alors isomorphes. • Composition Le composé de deux morphismes (resp. isomorphismes) de groupes est un morphisme (resp. isomorphisme) de groupes. • Noyau

Z} où n ∈ N. 43 Groupes 2.3 Morphismes de groupes • Définitions Soit G et G deux groupes notés multiplicativement. Une application f, de G dans G , est un morphisme de groupes si, et seulement si, ∀x ∈ G ∀y ∈ G f (x y) = f (x) f (y) . Si, de plus, f est bijective, on dit que f est un isomorphisme de groupes. Les deux groupes sont alors isomorphes. • Composition Le composé de deux morphismes (resp. isomorphismes) de groupes est un morphisme (resp. isomorphisme) de groupes. • Noyau

imaginaire e e 1. |eiθ | = 1, eiθ = e−iθ , π 2. ei 2 = i, eiπ = −1 3. eiθ = 1 ⇐⇒ ∃k ∈ Z, tq θ = 2kπ 4. eiθ = eiθ ⇐⇒ ∃k ∈ Z tq θ = θ + 2kπ. Th´or`me 2.10 : L’exponentielle est un morphisme de groupes e e Pour deux r´els (θ,θ ) ∈ R2 , on a : e ei(θ+θ ) = eiθ eiθ En d’autres termes, l’application exp : est un morphisme de groupes, de noyau Ker(exp) = 2πZ = {2kπ,k ∈ Z} et d’image Im exp = U . Th´or`me 2.11 : Formules de De Moivre a et d’Euler b e e ∀n ∈ Z, cos θ = eiθ + e−iθ 2 einθ = eiθ n 1 =

, π 1 = e−iθ eiθ 2. ei 2 = i, eiπ = −1 3. eiθ = 1 ⇐⇒ ∃k ∈ Z, tq θ = 2kπ 4. eiθ = eiθ ⇐⇒ ∃k ∈ Z tq θ = θ + 2kπ. Th´or`me 2.10 : L’exponentielle est un morphisme de groupes e e Pour deux r´els (θ,θ ) ∈ R2 , on a : e ei(θ+θ ) = eiθ eiθ En d’autres termes, l’application (R,+) −→ (U,×) θ → eiθ exp : est un morphisme de groupes, de noyau Ker(exp) = 2πZ = {2kπ,k ∈ Z} et d’image Im exp = U . Th´or`me 2.11 : Formules de De Moivre a et d’Euler b e e einθ = eiθ ∀n ∈ Z, cos

, π 1 = e−iθ eiθ 2. ei 2 = i, eiπ = −1 3. eiθ = 1 ⇐⇒ ∃k ∈ Z, tq θ = 2kπ 4. eiθ = eiθ ⇐⇒ ∃k ∈ Z tq θ = θ + 2kπ. Th´or`me 2.10 : L’exponentielle est un morphisme de groupes e e Pour deux r´els (θ,θ ) ∈ R2 , on a : e ei(θ+θ ) = eiθ eiθ En d’autres termes, l’application (R,+) −→ (U,×) θ → eiθ exp : est un morphisme de groupes, de noyau Ker(exp) = 2πZ = {2kπ,k ∈ Z} et d’image Im exp = U . Th´or`me 2.11 : Formules de De Moivre a et d’Euler b e e einθ = eiθ ∀n ∈ Z, cos

pauvreté à l’âge de 27 ans. Le mathématicien français Galois, s’intéresse lui aussi aux équation algébriques. Afin d’établir l’impossibilité de résoudre les équation de degré supérieurs à cinq, il ébauche les concepts algébriques modernes ( groupes, morphisme, etc.) mais meurt en duel à l’âge de 21 ans, «  victime d’une infâme coquette. Néanmoins, la veille du duel, il rédige à la hâte les idées essentielles de sa théorie. Celle-ci ne seront comprises que trente ans plus tard. La théorie de Galois est

groupe est dit commutatif (ou abélien). Il existe par ailleurs une analogie de structure entre ( ,+) et ( ,×) par l'intermédiaire de l'application f suivante : ( ,+) → ( , ×) θ → eiθ = f(θ) On a en effet f(θ + θ') = f(θ) × f(θ') On dit que f est un morphisme de groupe. Voici des exemples de groupes : ( ,+) ( ,+) ( *,×) ( *,×) Le fait qu'en outre le produit soit distributif par rapport à la somme (ce qui signifie que z(z' + z") = zz' + zz" et de même pour (z' + z")z, pour tous z, z' et z") fait que (

des sous-groupes de Z. Relation de congruence modulo un entier n > 0, notation a ≡ b modulo n. Compatibilit´ avec l’addition ; groupe e quotient Z/nZ, morphisme canonique de Z sur Z/nZ. G´n´rateurs du groupe Z/nZ. e e ´ Etant donn´ un ´l´ment a d’un groupe G, morphisme e ee k → ka (ou k → ak ) du groupe Z dans G ; noyau et image d’un tel morphisme. Le sous-groupe de G engendr´ par a est e isomorphe ` Z si ce noyau est r´duit ` {0} ; il est isomorphe a e a a ` Z/nZ si ce noyau est nZ. Tout autre exemple

espace topologique, etc.), on cherche à définir des morphismes de cette structure (application linéaire = morphisme d’espaces vectoriels ; isométrie = morphisme d’espaces métriques ; application continue = morphisme d’espaces topologiques, etc.), et à démontrer une version de la proposition précédente (« la composée de morphismes est un homomorphisme », « l’identité est un morphisme »). Alors nous dirons que les objets en question, avec leurs morphismes, forment une catégorie. Nous ne donnons pas ici

J, I), R(A, fI ) = R(A, I) et Q(A, J, fI ) = Q(A, J, I) 1.3.1 lemme Soit f = (In ) une filtration sur A et soit θf : R(A, f ) → G(A, m, f ) définit par ∀z = p an X n , où an ∈ In ∀n, θf (z) = p (an + mIn ). n=0 n=0 4 Alors θf est un morphisme surjectif d’anneaux gradués qui induit un isomorR(A,f phisme d’anneaux gradués θf : mR(A,f)) → G(A, m, f ). 1.4 1.4.1 Classification des filtrations Filtration I−bonne Définition 1.3 Soient I un idéal de A et f = (In )n∈Z une filtration de