Morphisme

Les prédérivateurs forment une 2-catégorie, notée Preder : les 1-morphismes (appelés dans [Cis03] Dia -morphismes) sont les pseudo-transformations naturelles, et les 2-morphismes sont les modifications (appelées dans [Cis03] 2-Dia -morphismes). Si D et D sont deux prédérivateurs, on désignera par Hom(D, D ) la catégorie des morphismes de D vers D . On note e la catégorie ponctuelle (i.e. avec un seul objet, et pour seul morphisme, l’identité). La philosophie des (pré)dérivateurs consiste à voir D

Soit k ∈ N∗ . Soient x1 , . . . , xk ∈ E. On dit que e x est combinaison lin´aire de x1 , . . . , xk si ∃λ1 , . . . , λk ∈ K tels que x = λ1 x1 + . . . + λk xk . e § Morphismes de K-ev (ou applications lin´aires). e D´f. 10. Soient E, F deux K-ev. Soit u : E → F une application. On dit que u est lin´aire e e (ou que u est un morphisme de K-ev) si elle v´rifie les deux conditions suivantes: e i) ∀x, y ∈ E u(x + y) = u(x) + u(y), ii) ∀λ ∈ K ∀x ∈ E u(λ.x) = λ.u(x). Rq. et d´f. 11. Soient E, F deux K-ev

n  Z. MORPHISMES DE GROUPES Soient (G,*) et (G',¤) deux groupes. Une application f : G → G' est un morphisme de groupes si : pour tout x, x'  G f (x*x') = f (x) ¤ f (x') Proposition 1 Soit f :G → G' un morphisme de groupes alors : - , - pour tout x  G, Proposition 2 Soient deux morphismes de groupes f :G → G' et g :G' → G''. Alors g o f :G → G'' est un morphisme de groupes. Si f : G → G' est un morphisme bijectif alors : G' → G est aussi un morphisme de groupes. Un morphisme bijectif

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD édité le 18 mars 2011 Enoncés 1 Morphisme de groupes Exercice 1 [ 02218 ] [correction] Soit n ∈ N et f : R → R définie par f (x) = xn . Montrer que f est un endomorphisme du groupe (R , ×). En déterminer image et noyau. Exercice 2 [ 02219 ] [correction] Justifier que exp : C → C est un morphisme du groupe (C, +) vers (C , ×). En déterminer image et noyau. Exercice 3 [ 02220 ] [correction] Soit G un groupe noté multiplicativement. Pour a ∈ G, on note τa l’application

rotations de (E, φ), e e ee ils constituent un sous-groupe O+ (E, φ), le groupe sp´cial orthogonal de (E, φ), distingu´ dans e e O(E, φ). De plus [O(E, φ) : O+ (E, φ)] = 2. Preuve. L’identit´ uu∗ = Id implique det(u)2 = 1 et O + (E, φ) est le noyau du morphisme de e groupe det : O(E, φ) → {−1, 1}. 2 D´finition. — Soit E un espace vectoriel (non n´cessairement quadratique). Un endomore e phisme involutif (ie u2 = IdE ) est appel´ une sym´trie de E. e e u Exercice 3. Montrer que s est une sym´trie de E ssi

. . . . . . . . . . . . 18 18 19 19 19 Propriétés de clôture des langages reconnaissables 5.1 Clôture Booléenne . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Clôture par produits . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Clôture par morphisme . . . . . . . . . . . . . 5.4 Pompage des langages reconnaissables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

application ϕ : G → G′ telle que ϕ(x ⋆ y) = ϕ(x) ⋆′ ϕ(y). Le noyau d’un morphisme de groupes ϕ est ´gal ` e a Ker ϕ := ϕ−1 ({e′ }) = {x ∈ G; ϕ(x) = e′ }. Exercice 1 (Injectivit´ et noyau). Montrer qu’un morphisme de groupes f : G → G′ est injectif, e c’est-`-dire f (x) = f (y) implique x = y, si et seulement si le noyau de f est ´gal ` {e}. a e a Exercice 2 (Le cercle unitaire). (1) Montrer que l’application R → GL2 (R) est un morphisme de groupes. (2) Quelle est son image ? (3) Quel est son noyau ? (4)

Exercice 1 : Formule de Burnside : Soit G un groupe ni opérant sur un ensemble ni 1 E. Montrer que le nombre d'orbites de E est égal à |G| g∈G Card {x ∈ E / g.x=x}. Corrigé : Il est clair que {{(g,x)∈ G×E / g.x=x} / g∈G} et {{(g,x)∈G×E / g.x=x} / x∈E} forment deux partitions de {(g,x)∈G×E / g.x=x}. G et E étant nis, on a donc g∈G Card {x∈E / g.x=x} = x∈E Card {g∈G / g.x=x}. Or, pour tout élément x de E, {g∈G / g.x=x} = Gx donc x∈E |Gx |. g∈G Card {x∈E / g.x=x} = Si x est un élément de E, on note

trigonometrie Partie II : Argument, exponentielle complexe II II.1 Argument, exponentielle complexe Notation exp(i theta) D´finition e Pour tout r´el θ, on pose eiθ = cos θ + i sin θ. e Th´or`me e e L’application θ → eiθ est un morphisme surjectif du groupe (IR, +) dans le groupe (U, ×) des nombres complexes de module 1, de noyau 2πZ = {2kπ, k ∈ Z : Z Z} – ∀ θ ∈ IR, | eiθ | = 1. – ∀ (θ, ϕ) ∈ IR2 , eiθ eiϕ = ei(θ+ϕ) . – ∀ z ∈ U (c`d | z | = 1), ∃ θ ∈ IR, eiθ = z. a – ∀ θ ∈

CCP PC Math´matiques 1 e Probl`me 1 e 1) a) F ⊂ M, F contient la matrice nulle, est stable par combinaison lin´aire , donc F est un sous espace vectoriel e de M b) I et F sont des ´l´ments de F et ne sont pas proportionnels donc (I, F ) est une famille libre de F ee ax + bz −bx + cz ax − by az − bt x z et M F = , on obtient F M = Posons M = ay + bt −by + ct bx + cy bz + ct y t y = −z c−a comme b = 0 , M ∈ F ´quivaut a e ` , donc F est un R-espace vectoriel de dimension 2 x= t+ z b (I, F ) est donc