Musique aléatoire

Echantillonnage Plan du cours : 1. Introduction. 2. Terminologie. 3. Echantillonnage. 3.1. Définition. 3.2. Méthodes d’échantillonnage. 3.2.1. Méthodes probabilistes (Aléatoires). Echantillonnage aléatoire simple. Echantillonnage aléatoire stratifié. Echantillonnage aléatoire par grappes. Echantillonnage aléatoire systématique. 3.2.2. Méthodes non probabilistes (Raisonnées ou Empiriques) Echantillonnage par quotas. Echantillonnage de convenance (de commodité). Echantillonnage selon

Introduction Il est toujours possible d’associer à une variable aléatoire une probabilité et définir ainsi une loi de probabilité. Lorsque le nombre d’épreuves augmente indéfiniment, les fréquences observées pour le phénomène étudié tendent vers les probabilités et les distributions observées vers les distributions de probabilité ou loi de probabilité. Identifier la loi de probabilité suivie par une variable aléatoire donnée est essentiel car cela conditionne le choix des méthodes employées

inférieure à 1 / 6 (b) supérieure à 1/6 (c) égale à 1/6 (d) inconnue . 2. Une famille possède deux enfants. Quelle est la probabilité que ce soient deux filles ? (a) on ne peut pas savoir (b) 1/2 (c) 1/4 (d) 1 . 3. On effectue 2 tirages aléatoires successifs et sans remise dans un jeu de 32 cartes ordinaire. Quelle est la probabilité d’obtenir deux cartes identiques ? (a) 1 (b)1/16 (c) 0 (d) on ne peut pas savoir . 4. On lance deux dés cubiques non truqués. Quelle est la probabilité

la responsabilité de l'étudiant d'effectuer, au besoin, une courte révision. • Chapitre 1. Introduction à la probabilité (34 pages) Exercices avec corrections • Chapitre 2. Les variables aléatoires de lois discrètes (114 pages) Exercices avec corrections • Chapitre 3. Les variables aléatoires de loi continue (60 pages) Exercices avec corrections Thème 2: Chaîne de Markov (environ 4 séances) • • • • • Matrice de transition et classification des états. Stabilité, récurrence

distingue deux grandes catégories de méthodes de sondage : méthodes aléatoires ou probabilistes et méthodes non aléatoires ou empiriques. Méthodes aléatoires peuvent être simples ou stratifiées à plusieurs degrés tirés avec ou sans remise à probabilités égales ou inégales. Un sondage aléatoire simple : lorsque tout individu de la population a une probabilité connue différente de zéro d’appartenir à l’échantillon. Sondage aléatoire stratifié : La stratification consiste à utiliser une information

est conforme et provient de la chaîne de production F1 . » 3. Déterminer la probabilité de l’évènement C . 4. Déterminer, à 10−3 près, la probabilité de l’évènement E sachant que l’évènement C est réalisé. Partie B 1. On note X la variable aléatoire qui, à un petit pot pris au hasard dans la production de la chaîne F1 , associe sa teneur en sucre. On suppose que X suit la loi normale d’espérance m 1 = 0, 17 et d’écart-type σ1 = 0, 006. Dans la suite, on pourra utiliser le tableau ci-dessous

Antilles Guyane Juin 2013 2/5 BAC S b. D’après la propriété des probabilités totales : p(A) = r + (1 – r) × c. pA(R) = Correction 1 1 = (1 + 2r) 3 3 p(AR) r 3r = = p(A) 1 1 + 2r (1 + 2r) 3 2. a. Les 400 tirages sont aléatoires, indépendants. A chaque tirage, il n’y a que 2 issues : A et A . 1 p(R) = r. X suit donc la loi binomiale de paramètres n = 400 et p = (1 + 2r) 3 240 b. La fréquence observée est f = = 0,6 400 1 1   Un intervalle de confiance au seuil

c) ?= 2) ?? ?=? ? ′ ?? ? ? ?? − ? ? ? − ? ?=? ′ = ?′ ?? ? + ? ? − ? ? − ? ′ Où ? est un vecteur de ℝ? Exercice 3 : On considère une matrice ? de dimension ?, ? ; le vecteur ? = ?? , ?? , … , ?? ′ et les vecteurs aléatoires ? = ??, ?? , … , ?? ′ et ? = ?? , ?? , … , ?? ′ . On suppose que les ?? sont iid de ? ?, ?? et que ? = ? − ?? 1) Déterminer, en fonction de ? et ? le vecteur ? qui minimise ? ?? ? par rapport à ? (Indication : ? ?? ? = ?′ ? ) 2) Démontrer que

d’écart type σ = 3 convenait. 0.14 0.13 0.12 0.11 0.10 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 note 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 On dit que la note l’examen est relativement bien approchée par une variable aléatoire X où X suit une loi normale N (10 ; 3). les valeurs possibles pour X sont dans l’intervalle ] − ∞ ; +∞ [ la probabilité que X soit compris entre 10 et 11 est égale l’aire sous la courbe entre 10 et 11 soit ≃ 0, 13 on note alors : p(10 ≤ X ≤ 11) ≃

points Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment Partie A Étude de la durée de vie d’un appareil électroménager Des études statistiques ont permis de modéliser la durée de vie, en mois, d’un type de lave-vaisselle par une variable aléatoire X suivant une loi normale N µ, σ2 de moyenne µ = 84 et d’écart-type σ. De plus, on a P (X 64) = 0, 16. La représentation graphique de la fonction densité de probabilité de X est donnée ci-dessous. 16 % 10 20 Pondichéry 30 40 50 60 64 70