N-uplet

B, puis que, pour tout n ∈ Z, M n = λn A + µn B. e) Montrer que M est diagonalisable et que l’ensemble de ses valeurs propres est {λ, µ}. 2. On suppose dans cette question qu’il existe un entier r 1, un r-uplet (λ1 , λ2 , . . . , λr ) de complexes non nuls, deux ` deux distincts, et un r-uplet a (A1 , A2 , . . . , Ar ) d’´l´ments non nuls de Mp (C) tels que, pour tout k ∈ [[0, r]], ee Mk = r j=1 λk Aj . j r a) Montrer que le polynˆme P = o j=1 (X − λj ) annule M . Montrer que M est

par la loi N (np, np ≥ 15 , np (1-p) ≥ 5 ) lorsque n ≥ 30, alors Sn suit la loi B (n,p) et on : a (Sn*) converge en loi vers une V.A.R. de loi 47 E. Estimations 1. Estimateurs Bien faire la différence entre qui est un n-uplet de variables aléaqui est un n-uplet de réels vérifiant toires et Il ne faut pas confondre , l’estimateur de θ, qui est une variable aléatoire avec une de ses réalisations qui est un réel appelé estimation de θ. L’estimation ne dépend que de l’échantillon observé. La

résoudre. Ici par esprit de simplification, nous avons uniquement regardé la proportion de femmes. Un sondage correct nécessiterait un échantillon ayant plus de paramètres en commun avec la population. Remarque Nous serons amenés à considérer des n−uplets (X1 , X2 , ..., Xn ) constitués de n copies indépendantes et identiquement distribuées de variable aléatoire réelle parente X. Définition/propriété 17 Soit (Xn )n∈N une suite de variables aléatoires. • Nous disons que (Xn ) converge presque sûrement

2 + . . . + a p x p = b où a1 , a2 , . . . , a p , b sont p + 1 éléments de donnés. • a1 , . . . , a p sont appelés coefficients de l’équation, b est appelé second membre de l’équation ; x 1 , . . . , x p sont les inconnues de l’équation. • Tout p-uplet (x 1 , . . . , x p ) ∈ p vérifiant cette équation est appelé solution de l’équation. Définition A.3 On appelle système d’équations linéaires à n équations et à p inconnues la donnée de n équations de la forme :  a11 x 1 + a12 x 2 + . . . + a1p

formule du crible est hors programme. Cardinal de l'ensemble des applications d'un ensemble fini dans un autre. Cardinal de l'ensemble des parties d'un ensemble fini. 17 Programme de mathématiques Classe ECT1 Nombre de p-listes (ou p-uplets) d'éléments distincts d'un ensemble de cardinal n, nombre d'applications injectives d'un ensemble de cardinal p dans un ensemble de cardinal n, nombre de permutations d'un ensemble de cardinal n. Nombre de parties à p éléments (ou p-combinaisons)

et si A1 ∪ A2 ∪ … ∪ Ap = E. Définition Le produit cartésien de deux ensembles E et F est l’ensemble des couples (a, b) avec a ∈ E et b ∈ F. On le note E × F. En généralisant cette notion, nous pouvons définir E1 × E2 … × Ep, ensemble des n-uplets. Exemple Lançons un dé. L’ensemble des résultats possibles est E = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 }. Lançons le dé trois fois de suite. L’ensemble des résultats possibles est alors E × E × E ensemble des triplets : E × E × E = { (a , b , c) avec a, b

dépend de μ,τ,θ. On écrit : X L(μ,τ2,θ) Exemple : Si X suit une loi normale, on écrit : X N(μ,τ2) Si X suit une loi de position. X P(λ) Définition : Soient X1, X2, X3,… ,Xn des extraits aléatoires issus de la loi de X. On dit que le n-uplet (X1, X2, X3,… ,Xn) est un échantillon i.i.d. si chacune des n va Xi, i=1,2,… ,n, est généré selon la loi de X (Xi L(μ,τ2,θ) de manière indépendante Exemple : Soit la pop des étudiants de L3 en 2010-2011, toutes filières confondues en France. Soit

loi normale N (0,1). En pratique : La loi B (n,p) peut être approchée par la loi N (np, np ≥ 15 , np (1-p) ≥ 5 47 ) lorsque n ≥ 30, E. Estimations 1. Estimateurs Bien faire la différence entre qui est un n-uplet de variables aléa- qui est un n-uplet de réels vérifiant toires et Il ne faut pas confondre , l’estimateur de θ, qui est une variable aléatoire avec une de ses réalisations qui est un réel appelé estimation de θ. L’estimation ne dépend que de l’échantillon observé

(théorie des prédicats d’ordre 1). De façon informelle, on peut définir le modèle relationnel de la manière suivante : • Les données sont organisées sous forme de tables à deux dimensions, encore appelées relations et chaque ligne tuple ou n-uplet; • Les données sont manipulées par des opérateurs de l’algèbre relationnelle ; • L’état cohérent de la base est défini par un ensemble de containtes d’intégrité. Au modèle relationnel, est associé la théorie de normalisation qui permet de se débarrasser

(x; y) = (x ; y ) ssi x = x et y = y . 2.14. 2.15. D´finition. De mˆme, si E1 , . . . , Ek sont des ensembles, E1 × · · · × Ek est l’ensemble des k-uplets e e (x1 ; . . . ; xk ) avec x1 ∈ E1 , . . . , xk ∈ Ek . Et, de mˆme, E k est l’ensemble des k-uplets d’´l´ments de E. e ee Chapitre 1. Ensembles et applications 11 2.16. Un k-uplet est exactement une suite de longueur k : l’ordre compte et il peut y avoir des r´p´titions. e e 3 Applications. 3.1. D´finition. Soient E, F des