N-uplet

uS0 .. S0 dS0 .. d2 S0 .. . dn−1 S0 dn S0 L’arbre est recombinant : à l’instant ti , l’actif peut prendre i+1 valeurs différentes. Ensemble des états du monde : Ω est l’ensemble des trajectoires possibles pour l’actif risqué. C’est l’ensemble des n-uplets (ω1 , . . . , ωn ) tel que chaque ωi prenne deux d u valeurs possibles ωi ou ωi . Ω := {(ω1 , . . . , ωn ) : ∀i ≤ n d u ωi = ωi ou ωi = ωi } . . dun−1 S0 . . udS0 .. . . dn−1 uS0 On se donne une probabilité historique P de survenance

d’aller comparer avec un tableau (figure : 7 singulet, 8 duet, 9 triplet). 7 9 8 TMS δ 2 3 1 0 En particulier, si on observe n + 1 pics, c’est que le(s) proton(s) considéré(s) est (sont) couplé(s) à n autre(s) proton(s) (règle dite « des n+1-uplets »). Chapitre 5 Échange de proton Brönsted Un acide « au sens de Brönsted » est une espèce capable de céder un proton H+ . Inversement une base est une espèce capable de capter un proton. Le pH et sa mesure Le pH est lié à la concentration des ions

peut s’´crire comme suit. Pour tout n ≥ 1, et e tout n-uplet (c1 , . . . , cn ) de chiffres d´cimaux, e n P (Y1 = c1 , Y2 = c2 , . . . , Yn = cn ) = P (Yi = ci ) = i=1 1 . 10n En notant que l’on a exclu les d´veloppement impropres dans la d´finition des e e Yi , on a l’´quivalence : e Y1 (ω) = c1 , Y2 (ω) = c2 , . . . , Yn (ω) = cn ⇔ ω ∈ [αn , αn + 10−n [, o` l’on a pos´ : αn = c1 10−1 + · · · + cn 10−n . Lorsque le n-uplet (c1 , . . . , cn ) u e prend toutes les valeurs possibles

peut s’´crire comme suit. Pour tout n ≥ 1, et e tout n-uplet (c1 , . . . , cn ) de chiffres d´cimaux, e n P (Y1 = c1 , Y2 = c2 , . . . , Yn = cn ) = P (Yi = ci ) = i=1 1 . 10n En notant que l’on a exclu les d´veloppement impropres dans la d´finition des e e Yi , on a l’´quivalence : e Y1 (ω) = c1 , Y2 (ω) = c2 , . . . , Yn (ω) = cn ⇔ ω ∈ [αn , αn + 10−n [, o` l’on a pos´ : αn = c1 10−1 + · · · + cn 10−n . Lorsque le n-uplet (c1 , . . . , cn ) u e prend toutes les valeurs possibles

sont les variables du problème. Enfin, i représente l’indice de la iieme contrainte (i = 1, ..., p) et j l’indice de la j ieme variable (j = 1, ..., n). On notera, dans la suite, ce problème par (P). Définition 1.4. Une solution réalisable est un n-uplet (x1 , ..., xn ) vérifiant toutes les contraintes. Définition 1.5. Une solution optimale est une solution réalisable qui donne à la fonction objectif la plus grande (problème de maximisation) ou la plus petite valeur possible (problème de minimisation)

; b) avec a ∈ E et b ∈ F. Si E et F sont des ensembles finis, on a card E x F = card E x card F On peut généraliser la notion de produit cartésien à un produit de 3 ensembles (ensemble des triplets), de 4 ensembles (quadruplets), de p ensembles (p-uplets) On a alors card (E1 x E2 x ... x Ep) = card(E1) x card(E2) x ... x card(Ep) Une suite de p éléments distincts d'un ensemble E ayant n éléments (n ³ p) est appelée un arrangement p à p des éléments de E. er ème Sachant qu'on a n choix possibles pour

tableau (figure : 7 singulet, 8 duet, 9 triplet). 7 9 8 TMS δ 2 3 1 0 En particulier, si on observe n + 1 pics, c’est que le(s) proton(s) considéré(s) est (sont) couplé(s) à n autre(s) proton(s) (règle dite « des n+1-uplets »). Chapitre 5 Échange de proton Brönsted Un acide « au sens de Brönsted » est une espèce capable de céder un proton H+ . Inversement une base est une espèce capable de capter un proton. Le pH et sa mesure Le pH est lié à la concentration

1+x 2 ii. En établissant d’abord le sens de variation de la fonction x → que : lim+ L(x) ≤ L(x0 ) ≤ lim− L(x) x→x0 x→x0 L(x) x sur ]0, +∞[, prouver iii. Conclure. 2. Soit p un entier supérieur ou égal à 2. Soit (a1 , . . . , ap ) un p-uplet de réels tel que : 0 < a1 < · · · < ap . (a) Soit n un entier tel que ap < n. Montrer que l’équation d’inconnue réelle x : ax + · · · + ax = nx 1 p admet une unique solution xn dans R+ . (b) Démontrer que la suite (xn ) est décroissante et qu’elle

dn−1 S 0 dS0 ր ց dn S0 L’arbre est recombinant: à l’instant ti , l’actif peut prendre i + 1 valeurs différentes. 16 Ensemble des états du monde: Ω est l’ensemble des trajectoires possibles pour l’actif risqué. C’est l’ensemble des n-uplets (ω1 , . . . , ωn ) tel que chaque ωi prenne deux valeurs d u possibles ωi ou ωi . Ω := {(ω1 , . . . , ωn ) : ∀i ≤ n d u ωi = ωi ou ωi = ωi } On se donne une probabilité historique P de survenance de chacun des états du monde et l’on suppose que

représenter aussi bien une classes d’objets qu’une association entre des classes d’objets. Ainsi, la distinction entre nœud et arc comme dans les autres modèles n’est pas nécessaire avec le modèle relationnel. Chaque élément d’une table est appelé un n-uplet. Par exemple la table INSCRIPTION décrit l’association entre la classe d’objets ETUDIANTS et la classe MODULES et qui permet de modéliser le fait qu’un étudiant peut s’inscrire à 0, 1 ou plusieurs modules. Num Nom Prenom Code Titre NumCode Note ETUDIANTS