N-uplet

vecteur f ∈ A(Rn ) ne peut pas, en général, être caractérisé par un nombre fini de coordonnées. Théorème 1.1. : Exemples : Les ensembles suivants sont des R-espaces vectoriels (suivant les cas), dits espaces vectoriels de référence. 1. les ensembles de n-uplets de réels Rn , 2. les ensembles de fonctions définies sur I (éventuellement R), à valeurs dans R, 3. les ensembles de polynômes à coefficients réels ou complexes : R[X] et Rn [X], 4. les ensembles de suites réelles Rn , 5. les ensembles de matrices carrées

Remarque 6.1.2. – Le produit cartésien E × E se note aussi E 2 . – On peut étendre la notion de couple : si E1 , . . . , En sont des ensembles, on peut définir des n-uplets (x1 , . . . , xn ) avec pour tout i, xi ∈ Ei . L’ensemble de ces n-uplets est le produit cartésien E1 × E2 × · · · × En . – Le produit cartésien E × · · · × E des n-uplets d’éléments de E se note E n. 21 6.2 6.2.1 Applications Définition Pour nous, les termes « fonction » et « application » seront synonymes. Il existe

p inconnues x1 , . . . , xp tout n-uplet d’équations linéaires du type :   a1,1 x1 + · · · + a1,p xp = b1  . . . . . .   a x + ··· + a x = b n,1 1 n,p p n – Les réels ai,j sont appelés coefficients du système et la matrice A est appelée matrice associée à ce système. – On appelle solution d’un système tout p-uplet (x1 , . . . , xp ) de réels vérifiant simultanément les n équations. – Résoudre dans Rp un système c’est déterminer l’ensemble de tous les p-uplets qui sont solution de ce système. –

Remarque 2.1.2. – Le produit cartésien E × E se note aussi E 2 . – On peut étendre la notion de couple : si E1 , . . . , En sont des ensembles, on peut définir des n-uplets (x1 , . . . , xn ) avec pour tout i, xi ∈ Ei . L’ensemble de ces n-uplets est le produit cartésien E1 × E2 × · · · × En . – Le produit cartésien E × · · · × E des n-uplets d’éléments de E se note E n. 21 2.2 2.2.1 Applications Définition Pour nous, les termes « fonction » et « application » seront synonymes. Il existe

le deuxième cas) Un bureau est donc un arrangement de 3 élèves choisis parmi l’ensemble des 24 élèves. 3 Il existe donc A24 = 24! 24! = = 24 × 23 × 22 = 12144 bureaux différents ( 24 − 3)! 21! Exercice n°10 1) Un tel choix est donné par un 6-uplet (sextuplé) de 6 chiffres, chacun choisi entre 1 et 6. Pour connaître le nombre de choix, on effectue le produit cartésien de l’ensemble {1; 2;3; 4;5; 6} six fois par lui-même. Il y donc 66 = 46656 choix possibles. 2) Si les six chiffres doivent être

processus généralise celle de variable aléatoire : la réalisation d’un processus est une série chronologique (on emploie également le terme de trajectoire). 2.2.6.1. Processus stationnaire Un processus est dit stationnaire si la loi de tout k-uplet est invariante par translation dans le temps : (2.18) Cette hypothèse de stabilité temporelle de la loi du processus facilite évidemment bien des analyses. Pratiquement, cette hypothèse implique notamment que la covariance entre les valeurs

l’exemple sous forme standard. [pic], ce qui donne la matrice [pic] et [pic]. Bases, bases réalisables, solutions de base On suppose que le problème P s’écrit [pic] avec A une matrice de dimension m x n. Base & hors-base Considérons un m-uplet B. On dit que B forme un base si et seulement si la matrice AB m x m, constituée par les colonnes de A d’indice dans B, est régulière. Le complément de B dans [pic]est le hors-base associé HB. On a : [pic] et [pic]. Ainsi toute solution de P vérifie :

Gibbs] a) Justifier ∀x > 0, ln x Exercice 1 [ 01832 ] [correction] √ √ a) Etablir que pour tout x, y ∈ R+ , y − x |y − x|. b) Ce résultat est-il encore vrai en terme de racine cubique ? x−1 b) Soient (p1 , . . . , pn ) et (q1 , . . . , qn ) des n-uplets formés de réels strictement positifs vérifiant Logarithmes n 1 x − x2 2 n pk = Exercice 2 [ 01827 ] [correction] Etablir, pour tout x 0, l’encadrement k=1 Etablir ln(1 + x) n x qk = 1 k=1 n pi ln qi i=1 pi ln pi i=1 Dans quel(s) cas

algorithme Un test d’ordonnançabilité efficace peut être utilisé comme un test d’acceptation en ligne, puisque la simulation exhaustive est couteuse 13 Utilisation ordonnançable Rappelons qu’un processus périodique Ti est défini comme étant un 4-uplet (φi, pi, ei, Di) L’utilisation ui = ei / pi L’utilisation totale d’un système : U = ∑u i =1 n i 0≤U≤1 Un algorithme d’ordonnancement peut planifier n’importe quel système de tâches périodiques sur un processeur si U est inférieure

2 ∑ x k – 1. ∂ xi k =1 Pour tout i de {1, 2, ..., n}, ∂2 f (x1, ..., xn) = 2 + 2 = 4. ∂ xi 2 4 e − λ 10 ) . ∂2 f Pour tout (i, j) de {1, 2, ..., n} tel que i ≠ j, (x1, ..., xn) = 2. ∂ xi ∂x j 2 2) a) Les points critiques de f sont les n-uplets (x1, ..., xn) solutions du système : n ⎧ 2 x 1 2 xk = − ∑ ⎪ 1 k =1 ⎪ n ⎪⎪ 2 x = 1 − 2 x ∂f ∑ k ∀i∈{1, 2, ..., n}, (x1, ..., xn) = 0, c’est-à-dire : ⎨ 2 k =1 ∂ xi ⎪ M n ⎪ ⎪ 2 x n = 1 − 2∑ x k k =1 ⎩⎪ Avec les opérations élémentaires Li ← Li – L1 (pour