Nombre semi-premier

d'ensemble infini est dit "dénombrable") · On choisit un réel au hasard entre 0 et 1 : W = [0, 1] (Ce type d'ensemble infini n'est pas dénombrable) · On choisit un rationnel au hasard entre 0 et 1: W =  Ç [0, 1] · On choisit un nombre premier au hasard : W = {nombres premiers} On verra aussi (au point c.) que, dans certaines situations, l'expression "choisir au hasard" peut déboucher sur des univers différents suivant le protocole de choix utilisé. b. Une famille de parties de W appelées "événements"

facilement les nombres premiers. 1.1 Présentation du sujet Nombres premiers Un nombre premier est un nombre qui n’est divisible de manière entière que par 1 ou par lui-même. Par exemple 3, 5, 11,. . .sont premiers alors que 4 (divisible par 2), 9 (divisible par 3),. . .ne le sont pas. Principe On considère les nombres de 2 à N . Le premier (2) est premier, tous ces multiples ne sont donc pas premiers (4, 6, . . .) et sont éliminés. On s’intéresse ensuite au prochain nombre qui n’a pas été

[pic]. Alors les suites suivantes en sont extraites : - La suite [pic] est constante et égale à 1. - La suite [pic] est constante égale à -1. - La suite [pic] où [pic] qui à 0 associe 0 et à [pic] associe le n-ième nombre premier est stationnaire à partir du rang 2. - La suite [pic] est égale à la suite u. Suites convergentes A) Définition Soit [pic]. On dit que la suite [pic] est convergente lorsqu’il existe [pic] tel que [pic] Remarque :

86)/2 S7=15.54/2=7.77 U71=326 et a=2 U70=U0+70x2 Un+1=Un+nxa U70=184+140=324 U71=U0+71x2 326=U0+142 U0=326-142 U0=184 S71=71x(U0+U70)/2 S71=71x(184+324)/2 S71=71x508/2 S71=36068/2=18034 Exercice 5 1.Les nombres 6 12 18 peuvent etre les trois premiers termes U0, U1, U2 d’une suite arithmétique. En effet pour passer de 6 à 12 on rajoute 6(6+6=12) et de même pour passer de 12 à 18(12+6=18). La suite (Un) est donc bien une suite arithmétique de raison a=6 Ainsi Uo=6 donc U1=U0+a

donc 6 est nombre parfait. Les diviseurs de 496 sont 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248 Or 1+2+4+8+16+31+62+124+248 = 496 donc 496 est un nombre parfait. 2) Les diviseurs de 120 sont 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 30, 40, 60 Or 60+40+30+20 = 150 >120 donc 120 n’est pas un nombre parfait 3) A) - Pour n=1 on a 2n+1-1= 2²-1=3 qui est un nombre premier. Donc 21(2²-1)=6. Or 6 est un nombre parfait (q°1) - Pour n=2 on a 2n+1-1= 23 -1= 7 qui est un nombre premier donc 2²(23-1)

2) Formules de récurrence 3) Formule du binôme de Newton III : L'anneau 1) Diviseurs communs, PGCD 2) Egalité de Bézout 3) Le théorème de Gauss 4) PPCM 5) Les nombres premiers IV : L'anneau des polynômes [X] 1) Algorithme du calcul du PGCD 2) L'égalité de Bézout 3) Le théorème de Gauss 4) Les polynômes irréductibles 5) PPCM Annexe I : nombre d'injections, de surjections et de partitions Annexe II : les axiomes de Peano Annexe III : analyse non standard Annexe IV : Le numéro INSEE Annexe V: Utilisation

Raisonnement par récurrence P(n) désigne une certaine propriété dépendant d’un entier n et n0 désigne un entier naturel donné. On veut démontrer que pour tout entier naturel n ≥ n0 , la propriété P(n) est vraie. Pour cela, on procède en deux étapes : Etape 1. On vérifie que P(n0 ) est vraie, Etape 2. On se donne un entier n ≥ n0 quelconque. On suppose que pour cet entier n la propriété P(n) est vraie (c’est l’hypothèse de récurrence) et on montre que sous cette hypothèse la propriété P(n + 1) est

1. Résoudre dans C l’équation :[pic]. (0,5 point) On désignera par z1 la solution dont la partie imaginaire est positive et par z2 l’autre solution. 2. a) Déterminer le module et un argument de chacun des nombres z1 et z2. (1 point) b) Déterminer le module et un argument du nombre complexe [pic]. (0,5 point) 3. Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O ; [pic], [pic]) (unité : 1 cm), on considère le point M1 d’affixe [pic], le point M2 d’affixe [pic] et le point A d’affixe

de raison 1/3 et de premier terme t0 = 4 6(n + 1) - 15 6n - 15 → montrons que w est arithmétique : wn+1 − wn = − = 3/2 4 4 - 15 donc w est arithmétique de raison 3/2 et de premier terme w0 = 4 → On a par construction u = t + w. → montrons que t est géométrique : tn = 5. → Tn = t0 + t1 + … + tn est la somme des n + 1 premiers termes de la suite géométrique t 1 - (1/3)n+1 19 3 donc Tn = t0 × = × × (1 − (1/3)n+1) 1 - (1/3) 4 2 → Wn = w0 + w1 + … + wn est la somme des n + 1 premiers termes de la suite

égal à 2) IV - PGCD de deux entiers relatifs non nuls V - Algorithme d’Euclide VI - Théorème de Bézout VII - Théorème de Gauss VIII - PPCM de deux entiers relatifs non nuls IX - Propriétés du PGCD et du PPCM X - Nombres premiers XI - Décomposition d’un entier naturel n en facteurs premiers I - Divisibilité dans l’ensemble des entiers relatifs Définition Soit a et b des entiers relatifs. Lorsqu’il existe un entier k tel que a = kb on dit que : • a est un multiple de b ; • b divise a ; • a est divisible