Nombre transcendant

LES NOMBRES TRANSCENDANTS Année scolaire 2010/2011 SommaireSommaire Introduction4 I. Historique5 II. Quelques propriétés des nombres algébriques6 II.1. Définitions6 II.2. Propriétés7 II.3. Dénombrabilité des nombres algébriques7 III. Les nombres transcendants8 III.1. Définitions8 III.2. Construction d'un nombre transcendant9 III.2.a. Théorème de Liouville9 III.2.b. Les nombres de Liouville10 III.2.c. La constante de Liouville11 IV. Transcendance de e12 IV.1. Plan de la démonstration12

conjecture la transcendance de pi. 1795 : Legendre démontre qu’un nombre peut être construit à l’aide d’une règle et d’un compas si et seulement si il peut être définit à l’aide d’opérations élémentaires (+, -, x, /) et de racines carrées. 1844 : Liouville fabrique les premiers nombres transcendants (par exemple : 1/10 + 1/102 !+…+1/10n). 1873 : Hermite démontre la transcendance de e. 1882 : Lindemann démontre que pi est transcendant. Il faut attendre le 18ème siècle pour voir les premiers résultats

Le nombre e http://www.maths-et-tiques.fr/index.php/histoire-des-maths/nombres/le... Vous êtes ici : ACCUEIL Histoire des maths . Le nombre e Rechercher sur le site... Yvan Monka MENU ACCUEIL Cours, activités, exercices Maths et Tice Algorithmique Histoire des maths Curiosités, récréations Fonds d'écran Expositions d'élèves Jeu concours Le nombre e Un nombre qui ne connaît pas la célébrité du nombre Pi et pourtant on lui trouve de très nombreuses ressemblances. Comme

page content | links on this page | site navigation | footer (site information) Bas du formulaire Bas du formulaire Les nombres : Histoire et évolution Liens associés Numération babylonienne Numération grecque Le zéro Equations degré 3   Un tableau synoptique sur l'histoire des nombres L'humanité a mis des millénaires pour passer de la quantité aux nombres. L'idée de nombre est l'aboutissement d'un long travail d'abstraction de la pensée. -30 000 | Présence d'entailles numériques. | - 8

. . . 2.3 Exercices suppl´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 R´ evision des concepts de base 3.1 Les nombres r´eels et leurs propri´et´es . . . . . . . . . . . 3.1.1 Les puissances et les racines . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Les in´egalit´es et la valeur absolue . . . . . . . . . 3.2 Les polynˆomes et la factorisation . . . . . . . . . . . . . 3.2.1

Matrices page 65 8 Espaces vectoriels page 74 9 Applications lin´eaires page 84 10 Introduction aux d´eterminants page 90 11 G´eom´etrie dans le plan et l’espace page 96 Appendice : R´esum´e d’alg`ebre lin´eaire page 105 12 Suites de nombres r´eels ou complexes page 109 13 Limites et continuit´e page 118 14 D´eriv´ees et formule de Taylor page 125 15 Int´egration page 135 16 Quelques fonctions usuelles page 144 17 Calcul de primitives page 153 18 Int´egrales impropres page

des ensembles 9 — Applications 11 e e ıve 2 Les entiers naturels — L’ensemble I et la r´currence 14 — Ensembles finis 15 N e 3 Arithm´tique e — Divisibilit´ et division euclidienne 18 — Plus grand commun diviseur 19 — Th´or`me de Bezout 20 — Nombres e e e premiers 22 4 Structures alg´briques g´n´rales e e e — Relations binaires et lois internes 24 — Groupes 25 — Anneaux et corps 27 24 29 5 Le corps des r´els e — Ses ´l´ments, ses op´rations, son ordre, sa compl´tude 29 — Propri´t´

5 L’anneau des entiers Z 6 L’anneau des polynˆmes o 7 Matrices 8 Espaces vectoriels 9 Applications lin´aires e 10 Introduction aux d´terminants e 11 G´om´trie dans le plan et l’espace e e Appendice : R´sum´ d’alg`bre lin´aire e e e e 12 Suites de nombres r´els ou complexes e 13 Limites et continuit´ e 14 D´riv´es et formule de Taylor e e 15 Int´gration e 16 Quelques fonctions usuelles 17 Calcul de primitives 18 Int´grales impropres e 19 Courbes param´tr´es et d´veloppements limit´s e e e e 20 Equations

recherche – Le nombre pi 1) Le nombre est irrationnel, c’est-à-dire que l’on ne peut pas le représenter comme un rapport de deux nombres entiers. Ceci entraine donc que son écriture décimale n’est ni finie, ni périodique. C’est un nombre transcendant, ce qui signifie qu’il n’existe pas de polynôme non-nul à coefficient entier dont est la racine. 2) Le plus petit ensemble de nombres qui contient est l’ensemble des Réels. () 3) n’est pas un nombre algébrique. Un nombre algébrique

travailler et mémoriser le cours no 1 : (I) Montrer que les nombres suivants sont irrationnels. √ √ 1) (**) 2 et plus généralement n m où n est un entier supérieur ou égal à 2 et m est un entier naturel supérieur ou égal à 2, qui n’est pas une puissance n-ième parfaite. 2) (**) log 2. 3) (****) π (Lambert a montré en 1761 que π est irrationnel, Legendre a démontré en 1794 que π2 est irrationnel, Lindemann a démontré en 1882 que π est transcendant). p Pour cela, supposer par l’absurde que π = avec p et