Opérateur laplacien

différentiel dt) n’a aucune signification physique ! t est ici un paramètre et non un résultat de mesure. L’équation s’écrit (je ne répète pas les variables de la fonction Ψ afin d’alléger l’écriture) : 2 ∂Ψ =− ∆Ψ + Ep (r)Ψ (1.3) i ∂t 2m où = h/2π, ∆ est le laplacien et Ep (r) est l’énergie potentielle de la particule (qui pourrait dépendre aussi du temps d’ailleurs). Principe de superposition On peut faire une constatation très importante en regardant l’équation de Schrödinger, c’est qu’elle est linéaire. Cette

du point de vue du formalisme mathématique associé. Schrödinger propose d’associer à une particule un opérateur H appelé « opérateur hamiltonien » qui reflète les propriétés du système à étudier (un opérateur agit sur une fonction et la transforme en une autre fonction ; exemples, l’opérateur dérivé d’une fonction, par exemple, x->3x2+4x+7 : x->6x+4 ; l’opérateur valeur absolue). Cet opérateur intervient dans une équation dont les inconnues sont des fonctions des coordonnées d’espace et de temps

discrète sur des volumes infinitésimaux se déplaçant avec le fluide : ρQ dV ≈ ρQVi . i V D Dt D(ρVi ) Dt On peut alors dériver chaque terme par rapport au temps, et ρQVi = Q D(ρVi ) Dt + ρVi DQ Dt car i D/Dt est un opérateur différentiel du premier ordre. Mais = Dm = 0 car les volumes Vi se Dt déplacent avec le fluide, et donc englobent une masse constante. Le résultat en découle. 10 Chapitre 1. Ondes acoustiques planes où ∇p représente le gradient de la

l’intégrale volumique comme une somme discrète sur des volumes infinitésimaux se déplaçant avec le fluide : ∫∫∫ V ρQ dV ≈ ∑ i ρQVi. On peut alors dériver chaque terme par rapport au temps, et D Dt ( ρQVi ) = Q D(ρVi) Dt + ρVi DQ Dt car D/Dt est un opérateur différentiel du premier ordre. Mais D(ρVi) Dt = Dmi Dt = 0 car les volumes Vi se déplacent avec le fluide, et donc englobent une masse constante. Le résultat en découle.10 Chapitre 1. Ondes acoustiques planes où ∇p représente le gradient de la pression

∇ .B=0 ∇ .B=0 rot ∧B =µJ +εµ ∂E ∇∧B=µ J +εµ ∂E ∂t ∂t avec J =σE ∇∧B=εµ ∂E ∂t Rappel mathématique sur les notations : Rotationnel gradient et divergence: Opérateur NABLA : Pour simplifier les écritures on définit un opérateur (une fonction qui s'exerce sur les composantes d'un vecteur) : ∂ ∂x ∇= ∂ ∂y ∂ ∂z Cet opérateur nous simplifie l'écriture du rotationnel de la divergence et du gradient : Divergence : A. Dupret, A. Fischer 9-89 Dpt GTR - IUT de Villetaneuse Université

simple : le puits de potentiel infini . . . . . . . . . . . . 5.5 Calcul des valeurs moyennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Opérateurs X et P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Opérateurs linéaires et commutateur . . . . . . . . . . . . . . . 5.8 Opérateurs hermitiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9 Opérateur adjoint ou conjugué hermitique . . . . . . . . . . . . 5.10 Expression formelle du principe d’indétermination d’Heisenberg 5.11 Hamiltonien

pour lesquelles Y (θ , ϕ ) = Cte (Y se confond alors avec la constante de normalisation). Montrer que la résolution de l'équation aux dérivées partielles se ramène alors à la résolution d'une équation en R(r) à préciser. On rappelle l'expression du laplacien en coordonnées sphériques: ∆Ψ = 1 ∂2 1 ∂  ∂Ψ  1 ∂ 2Ψ ( ) + sin θ r Ψ +   ∂θ  r 2 sin 2 θ ∂ϕ 2 r ∂ r2 r 2 sin θ ∂θ  u (r ) . Déterminer alors la solution générale r de l'équation différentielle vérifiée par u(r) et en déduire la forme générale

Əy2 + Ə2ψ/ Əz2 + (8π2m/h2)( E ψ) – (8π2m/h2)( U ψ) = 0 Il vient : E ψ = U ψ – (h2/8π2m) (Ə2ψ/ Əx2 + Ə2ψ/ Əy2 + Ə2ψ/ Əz2). 27 Les solutions de cette équation sont (ψ,E) où ψ est la fonction d’onde. Posons Δ = Ə2/ Əx2 + Ə2/ Əy2 + Ə2/ Əz2 , opérateur Laplacien. ET L’EQUATION DE SCHRODINGER S’ECRIT : Δ Ψ + (8Π2m/h2)( E – U)Ψ = 0 Avec U = Upx + Upy + Upz :énergie potentielle totale. Pour l’atome d’hydrogène : U = -Ke2/r => Δ ψ + (8π2m/h2)( E + Ke2/r)ψ = 0 Qui donne une infinité de solutions (ψ,E). Les

. . . . . . . A.3 Quelques opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.1 Opérateur gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.2 Opérateur divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.3 Opérateur laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.4 Dérivée totale ou dérivée matérielle ou dérivée particulaire . . . . . . . A.3.5 Quelques relations sur les opérateurs . . . . . . . . . . . . . .

Ediscience, Paris, 2002 pour la première édition ISBN 2 10 050249 2 Table des matières 1 2 3 CALCUL VECTORIEL 1 1.1. Représentation d’un point dans l’espace 1.2. Vecteurs 1.3. Circulation d’un vecteur 1.4. Flux d’un vecteur 1.5. Angle solide 1.6. Opérateurs vectoriels 1.7. Relations vectorielles 1.8. Transformations intégrales Exercices Corrigés 1 2 5 6 7 8 13 14 17 19 CHAMP ÉLÉCTROSTATIQUE DANS LE VIDE 27 2.1. Charges électriques 2.2. Loi de Coulomb 2.3. Champ et potentiel 2.4. Force et énergie