Optimisation linéaire

SOMMAIRE INTRODUCTION GENERALE 3 1. LA NOTION DE MODELE 3 2. CONSTRUCTION DES MODELES ECONOMETRIQUES-ROLE DE L’ECONOMETRIE 3 CHAPITRE I : REGRESSION LINEAIRE SIMPLE ET REGRESSION LINEAIRE MULTIPLE 7 I- REGRESSION LINEAIRE SIMPLE 7 1. Description du modèle : exemple introductif 7 2. Le modèle et ses hypothèses 8 3. Formulation des estimateurs : les moindres carrées 8 4. Hypothèse de normalité des erreurs 12 5. Equation et tableau d’analyse de la variance 13 II- LE

· · ·   x1p . . . .  xnp e e ee xij est l’´l´ment de la i `me ligne et j `me colonne. On le note aussi (X)ij Exemple. n = 3, p = 4.  3 4 8 2 X =  2 6 1 1 . 1 1 0 5  (X)22 = x22 = 6, (X)13 = x13 = 8. 5 ` ´ ´ 6CHAPITRE 2. ALGEBRE LINEAIRE ET REPRESENTATION DES VECTEURS • La transpos´e de la matrice X, not´e X t , est obtenue ` partir de X en interchangeant e e a les lignes et les colonnes. C’est ` dire, (X t )ij = xji . Remarquer que si X est une matrice a de taille n × p, alors

Méthode des Trapèzes La méthode d'approximation d'une intégrale ainsi dénommée repose sur le calcul de l'aire d'un trapèze, vue comme l'intégrale d'une fonction affine f sur IR, donc du type :" f(x) = Ax + B" , pour tout couple (a;b) de réels, on a, comme le montre un calcul sans difficulté particulière : f(x)dx = [A + Bx = (b - a)x , car  b 2 − a 2  =  b − a   b  a  Cette formule d'intégration est à rapprocher de celle qui donne l'aire d'un trapèze, si on interpréte, dans

Spéciale PT LYCÉE L E C ORBUSIER P ROGRAMME DE COLLE N O 1 Algèbre linéaire Comme d’habitude K = R ou K = C. Semaine du 14 au 19 septembre 2009 Remarque Pour montrer qu’une partie est un s.e.v, il est souvent plus efficace de l’écrire comme s.e.v engendré que de revenir à la définition d’un s.e.v. Espaces vectoriels Définition 1 (Espaces vectoriels) Soit E un ensemble muni d’une loi de composition interne E × E −→ E (x, y) −→ x + y et d’une loi externe K × E −→ E (λ, x) −→ λ.x. (E

de corrélation y A y B y C y D ? • • • • x x x x 1 : corrélation non linéaire 2 : absence de liaison en moyenne mais pas en dispersion 3 : corrélation linéaire 4 : absence de liaison 7 Ph. LERAY - A. ROGOZAN UV Statistique Cours n°3 quantitative vs. quantitative • Coefficient de corrélation linéaire r n ⇒ mesure le caractère linéaire du nuage de points 1 ∑  xi−x yi− y cov  X ,Y  n i=1 r= = avec −1 r1 s X sY s X sY 1 1 2 2 2 2 où

polynôme  Division suivant les puissances croissantes  Fractions rationnelles -Espaces Vectoriel Notions d'espace et sous espaces vectoriels Bases d'un espace vectoriel Applications linéaires Projections - symétries -Systèmes linéaires Equations linéaires Déterminants - Matrices Matrices et applications linéaires Matrices et changement de bases Valeurs propres et diagonalisation d'une matrice Orthogonalité Eléments d'Electronique Probabilités et Statistiques -Diode - Transistors -Amplificateurs

DEFINITIONS a et b sont deux nombres donnés. La fonction f qui à tout réel x associe le nombre f x   ax  b est appelée fonction affine. Si b  0, on dit que f est linéaire.  f x   ax  Si a  0 , on dit que f est constante.  f x   k  Toute fonction linéaire est donc affine ! f : x  3 x est une fonction affine et linéaire a  3 et b  0  . Reconnaître une fonction affine : (question type) a) f x   2x  2 3 2 x √2 2 2 f (x)= + = x+ √ . 3 3 3 3 f (x) s'écrit a× x+b avec a=

fonction linéaire. Représentation graphique d'une fonction linéaire Théorème: la représentation graphique d'une fonction linéaire de coefficient a est la droite passant par l'origine du repère et le point de coordonnées (1, a). Remarque, si la fonction s'appelle f, on a pour tout x, f(x) = ax On considère un point A (x, y) de la RG de f, on a y = f(x), donc y = ax Notation et vocabulaire: on dit que y = ax est une équation de la droite représentant graphiquement la fonction linéaire f de coefficient

les deux variables métriques X et Y. La formule de r est donnée par la relation suivante : c) Analyse de régression simple : 130 ENCG TANGER 3ème Année STATISTIQUES L’équation de régression à rechercher prend évidemment la forme linéaire : Y= a.X+b Tel que : EVOLUTION DES VENTES EN FONCTION DES DEPENSES PROMO N° Etat Dépenses promotionnelles relatives (Xi) Ventes relatives (Yi) Xi² Xi.Yi 1 95 98 9 025 9 310 2 92 94 8 464 8 648 3

conditions se vérifie par un système linéaire. Indication pour l’exercice 2 E est un sous-espace vectoriel de R4 . Une base comporte trois vecteurs. Indication pour l’exercice 3 C’est une base pour t = ±1. Indication pour l’exercice 4 Il n’y a aucune difficulté. C’est comme dans R3 sauf qu’ici les coefficients sont des nombres complexes. Indication pour l’exercice 5 Il suffit de montrer que la famille est libre (pourquoi ?). Prendre ensuite une combinaison linéaire nulle et regarder le terme de