PGCD de nombres entiers

intervalle de variation nombre de bits Boolean false , true 1 bit Premier pas dans .Net avec C#2.0 - ( rév. 28.08.2006 ) - Rm di Scala page 13 SByte octet signé -128 ... +127 8 bits Byte octet non signé 0 ... 255 8 bits Char caractères unicode (valeurs de 0 à 65535) 16 bits Double Virgule flottante double précision ~ 15 décimales 64 bits Single Virgule flottante simple précision ~ 7 décimales 32 bits Int16 entier signé court [ -215

les points de l’ensemble. Si x est un point d’un ensemble A, on écrit x ∈ A et on lit x appartient à A. Si x n’est pas un point de A, on écrit x ∈ A. Un ensemble peut être fini ou non, peut être concrêt ou imaginaire. Exemples −0, 1, 2, 3, · · · les entiers naturels forment un ensemble qui est noté N. − L’ensemble des couleurs de l’arc-en-ciel. − L’ensemble des étudiants de l’université de Cocody inscrits pour cette année universitaire : − a,b,c,...,z sont lettres de l’alphabet français. Notations -

que si on ne les connaît pas, on peut les retrouver à l’aide des règles de calcul que l’on vient de voir... ). Elles sont au nombre de trois : 1. 2. 3. = = ATTENTION on voit bien ici qu’en particulier (a + b)2 (a − b)2 a2 + 2ab + b2 a2 − 2ab + b2 a2 − b2 (a + b)(a − b) = (a + b)2 = a2 + b2 Si l’on veut développer des expressions du type (a + b)n pour un entier n plus grand que 2, on pourra utiliser ces identités remarquable, et le fait que (a + b)n = (a + b) × (a + b)n−1 . Exemples

feuille annexe 2. x + y ≡ 1 (modulo 3), sur le graphique 2 de la feuille annexe ; 3. x ≡ y (modulo 3), sur le graphique 3 de la feuille annexe. B - Résolution d’une équation On considère l’équation (E) : 7x − 4y = 1, où les inconnues x et y sont des entiers relatifs. 1. Le couple (−1 ; −2) est un couple solution. 2. On a donc : 7 × (−1) − 4 × (−2) = 7x − 4y = 7(x + 1) = 4(y + 2) (1). 1 ⇒ (par différence) 7(x + 1) − 4(y + 2) = 0 ⇐⇒ 1 D’après le théorème de Gauss, 7 divise 4(y +2) mais est premier avec

plus qu’une chance sur quatre de gagner. La probabilité est 1 1 1 et elle diminue. On a en effet < . 4 4 3 27 SUJET 2 EXERCICE 2, MÉTROPOLE, JUIN 2012 1. Quelle est l’écriture décimale du nombre 105 + 1 ? 105 2. Antoine utilise sa calculatrice pour calculer le nombre suivant : résultat affiché est 1. Antoine pense que ce résultat n’est pas exact. A-t-il raison ? 1015 + 1 . Le 1015 CORRIGÉ 105 + 1 100001 = = 1, 00001 5 10 100000 105 + 1 105 1 ou = 5

Exercices de statistiques Exercice 1. Soit la liste suivante des prénoms d’un groupe d’étudiants suivis entre parenthèses d’une indication du nombre de livres lus dans l’année (A = peu, B = moyen, C = beaucoup, D = exceptionnel) : Pierre (C), Paul (C), Jacques (A), Ralph (B), Abdel (A), Sidonie (B), Henri (C), Paulette (B), Farida (B), Laure (C), Kevin (D), Carole (B), Marie-Claire (A), Jeanine (C), Julie (C), Ernest (C), Cindy (C), Vanessa (D), José (C), Aurélien (C). 1. Définissez la distribution

résolution (feed-back écrit). Expliquez à des amis la leçon que vous venez d'apprendre ou l'exercice que vous venez de résoudre : c'est un excellent feed-back oral. 3. Se préparer aux épreuves écrites. Dès qu'on vous a déposé le sujet, lisez-le en entier, calmement. Prenez environ cinq à dix minutes. Il est essentiel de ne pas commencer immédiatement. Essayez d'avoir une vision d'ensemble de l'épreuve. Lisez votre énoncé une seconde fois et notez déjà quelques remarques sur votre brouillon ou dans

........ 53 Les nombres ............................................................................................................................................................................................................. 54 Les différents types ................................................................................................................................................................................................... 54 Opérations sur les nombres .................

rendre les calculs plus rapide, il existe certaines identités qui doivent être connues : les identités remarquables. (Notons que si on ne les connaît pas, on peut les retrouver à l’aide des règles de calcul que l’on vient de voir... ). Elles sont au nombre de trois : 1. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ATTENTION 2. (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 on voit bien ici qu’en particulier a2 − b2 (a + b)2 = a2 + b2 3. (a + b)(a − b) = Exemples : 1. (x + 5)2 = x2 + 10x + 25, 4x2 + 12x + 9 = (2x + 3)2 . 2 2 2

3 Puissances. Écritures littérales 2 1 Réponse b : 43 = 4 × 4 × 4. 2 Réponse c : 103 × 10– 4 = 103 + (– 4) = 10–1 = 0,1. 3 Réponse a : 450,1 = 4,501 × 102. 4 Réponse a : n + 1 est le nombre entier qui suit immédiatement le nombre entier n. Donc son carré est (n + 1)2. 5 Réponse c : 2x + 5x = (2 + 5)x = 7x. 6 Réponse c : (2x – 3) (4x + 5) = 2x × 4x + 2x × 5 – 3 × 4x – 3 × 5 = 8x2 + 10x –12x –15 = 8x2 – 2x –15. 7 Réponse c : factoriser une expression, c’est l’écrire sous forme d’un produit de facteurs