PGCD de nombres entiers

(am)n= am × n a an a n • an × bn = (a × b)n • n = . b b 1. Test de démarrage 1 Réponse b : 43 = 4 × 4 × 4. 2 Réponse c : 103 × 10– 4 = 103 + (– 4) = 10–1 = 0,1. 3 Réponse a : 450,1 = 4,501 × 102. 4 Réponse a : n + 1 est le nombre entier qui suit immédiatement le nombre entier n. Donc son carré est (n + 1)2. 5 Réponse c : 2x + 5x = (2 + 5)x = 7x. 6 Réponse c : (2x – 3) (4x + 5) = 2x × 4x + 2x × 5 – 3 × 4x – 3 × 5 = 8x2 + 10x –12x –15 = 8x2 – 2x –15. 7 Réponse c : factoriser une expression, c’est l’écrire

l’académie concernée Les douze suivantes précisent le (ou les) domaine mathématique concerné - La suivante (Nombre de questions) offre le choix entre les énoncés les plus courts laissant une large marge d’initiative dans la recherche et ceux qui font gravir marche par marche l’échelle qui conduit à la solution. - L’avant-dernière donne la longueur d’une solution détaillée évaluée en nombre de demi-pages - La dernière enfin, précise les sections concernées, un même exercice pouvant être proposé à deux

Table des mati`res e 1 G´n´ralit´s sur les fonctions e e e 2 Continuit´ e 3 D´rivabilit´ e e 4 Fonctions de classes Ck 5 Bijections 6 D´veloppements limit´s e e 7 Groupes, anneaux, corps. 8 Polynˆmes o 9 Fractions rationnelles 10 Arithm´tique e 11 Nombres complexes. 12 Suites 13 Suites un+1 = f (un ) 14 Ensembles 15 Espaces vectoriels et applications lin´aires e 16 Familles g´n´ratrices, libres, bases. e e 17 Calcul matriciel 18 Int´gration e 19 Equations diff´rentielles e 2 3 4 5 7 8 9 10 12 13 14

v ◦ u est un projecteur. b) Déterminer son rang, son image et son noyau. Dimension et codimension Exercice 19 [ 00172 ] [correction] Soient E un K-espace vectoriel de dimension n 1, f un endomorphisme nilpotent non nul de E et p le plus petit entier tel que f p = 0. Montrer qu’il existe x ∈ E tel que la famille (x, f (x), f 2 (x), . . . , f p−1 (x)) soit libre et en déduire que f n = 0. Base d’un espace vectoriel Exercice 14 [ 00167 ] [correction] Pour a ∈ R, on note fa l’application de R

Math´ematiques Alternatifs), en copyleft LDL. Les noms de leurs auteurs respectifs sont mentionn ´es en bas de page. L. Rosier SOMMAIRE 1er Semestre 1. Ensembles - Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2. Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3. Suites num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4. G´eom´etrie affine et euclidienne . . . . . . . . . . . .

fonctions peuvent ´ventuellement ˆtre e e e rang´es dans des biblioth`ques, pour que l’on puisse les r´utiliser. On retrouve ici les e e e notions de modules (voir plus loin), et de compilation s´par´e vues l’an dernier. e e Exemple du calcul du pgcd int pgcd(int a, int b){ int r; if (ainfo=c; q->suiv=P; return(q); } char depiler(Pile *P) { Pile q; char c; q=*P; *P=q->suiv; c=q->info; free(q); return(c); } int vide(Pile P){ return (P==NULL); } int main() { char c; Pile P=NULL; for (c=’a’;c b ? "+a

´tudiants, e e d’introduire des notions de base n´cessaires tant en math´matiques que dans les autres disciplines scientifiques e e (physique, chimie, sciences industrielles. . . ). Certains de ces objets seront consid´r´s comme d´finitivement ee e acquis (nombres complexes, coniques, . . . ) et il n’y aura pas lieu de reprendre ensuite leur ´tude dans le cours e de math´matiques ; d’autres, au contraire, seront revus plus tard dans un cadre plus g´n´ral ou dans une e e e pr´sentation plus th´orique (groupes

homogénéiser l’offre, une marque, un nom |commercial, le produit ou service, la communication à un marché en | |commercial, un produit, un service, de manière semblable dans le monde|particulier, en prenant en compte les différences socioculturelles | |entier. |pour chaque marché. Il est beaucoup plus précis pour viser un | |Il est souvent présent dans les multinationales, gérant un |nouveau marché ou l'on souhaite s'implanter

. . . . . . . . . . 173 . . . . . . . . . . . . . . 174 . . . . . . . . . . . . . . 176 . . . . . . . . . . . . . . 178 . . . . . . . . . . . . . . 178 reconstruction rationnelle179 8 Corps finis et théorie des nombres 8.1 Anneaux et corps finis . . . . . . . . 8.1.1 Anneau des entiers modulo n 8.1.2 Corps finis . . . . . . . . . . 8.1.3 Reconstruction rationnelle . . 8.1.4 Restes chinois . . . . . . . . . 8.2 Primalité . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Factorisation et logarithme discret . 8.4 Applications

.................. 181 MOD ........................................................................................................................................................................................................................ 181 PGCD ...................................................................................................................................................................................................................... 182 Petite pause ...............