Pile

8 × 7 × 6 = 336. 1.2.2 Arrangements avec répétitions Le nombre d’arrangements avec répétitions de p objets pris parmi n est np (tirages avec remise). Exemple. On lance 3 fois une pièce de monnaie. Combien y a-t-il de suites différentes de pile ou face ? Il y en a : 2 × 2 × 2 = 8. 1.3 Combinaisons Définition 1.4. Soit E un ensemble à n éléments. Soit p ≤ n, une combinaison de p éléments choisis parmi n est un sous-ensemble de E ayant p éléments. Exemple. Tirage simultané de p

∈ P(Ω) avec A ⊂ B alors p(A) p(B) 5. Pour A ∈ P(Ω) et B ∈ P(Ω) on a p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B) 2 Variable aléatoire. L’univers des possibles n’est pas toujours un ensemble numérique et ordonné : par exemple si on considère un jeu de pile ou face les issues possibles sont « piles »et « face ». Afin de pouvoir effectuer des calculs sur de tels univers on se munit d’une fonction, notée X et appelée variable aléatoire, qui agit sur l’ensemble des issues possibles (d’où le qualificatif d’aléatoire))

forme de paradoxe par son cousin Nicolas : Il s’agissait d’un problème de ticket d'entrée pour un jeu de pile ou face un peu sophistiqué : Imaginons le jeu suivant : Si la pièce tombe sur Pile, on gagne 1 € et le jeu est terminé. Si c'est face, on ne gagne rien sauf le droit de rejouer. Si on retombe sur Pile, on gagne 2€, si on retombe sur face, on gagne le droit de rejouer, puis si re pile, 4€ etc. C’est dans ce contexte que s’établit le paradoxe « jeu de saint Petersbourg ». La probabilité de

al´atoires r´elles. Int´grale d’une variable al´atoire r´elle par rapport a une mesure. Exemples. e e ` Propri´t´s de l’int´grale. Th´or`mes de convergence. Compl´ments ee e e e e et exercices (comment probabiliser l’ensemble des suites infinies du jeu de pile ou face ). e e CHAPITRE 11. Esp´rance math´matique. Lois absolument continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Esp´rance math´matique d’une variable al´atoire

symboliques associées aux hexagrammes. Le tirage au sort d’un numéro détermine la position par rapport à la table du Yi-King de l’objet ou du matériel choisit par Cage au préalable. Il faut jeter six fois trois pièces de monnaie et chaque combinaison pile ou face correspond à une sorte de ligne continue ou discontinue. Le processus, le geste de tirer au sort relève du hasard et c’est cette démarche qui intéresse Cage. Ainsi, des 1952 il fait régulièrement usage des opérations du hasard à l’aide du Yi-King

être suivi. Admettons que l’on veuille estimer la proportion de personnes qui remplissent leur déclaration fiscale de manière honnête. On demande alors à chaque personne interrogée de se retirer dans une pièce isolée, et de jouer à pile ou face. - si elle obtient « pile » alors elle doit répondre honnêtement par « oui » ou « non » à la question « Votre déclaration fiscale est-elle honnête ? » - si elle obtient « face », elle devra lancer la pièce une nouvelle fois et répondre par « oui » ou « non

2 ci-dessous, une seule des quatre réponses proposées est exacte. On demande à chaque fois d’indiquer laquelle, sans donner de justification. 1. a. On lance une pièce de monnaie six fois de suite et on note, à chaque lancer, le nom du côté visible (Pile ou Face). Le nombre de résultats possibles est : 26 6! 62 C2 . 6 b. On prend simultanément deux cartes au hasard parmi six cartes distinctes et on note l’ensemble de deux cartes obtenu. Le nombre de tirages possibles est : 26 6! 62 C2 . 6 c.

kddkkdjdjdjdjdjdjdjdjdjdjdjdjddjjdjdjdjdjdjdjdjdjdjdjdjdj Uwjxjxidjfififudigifufufifgjjjjjjjhhhjjjkklllkkkhfdggfgfgggg- gggggfffffffffffffffdddIl existe des objets archéologiques, comme ceux trouvés en 1936, ressemblant à des piles. C'est le cas de la pile électrique de Bagdad qui est datée entre 250 av. J.-C. et 250 mais elles pourraient être encore plus anciennes et expliqueraient le placage si parfait de nombreux bijoux antiques si légers. Elles auraient fonctionné aux jus de fruits voire au sulfate

réduction : O2(g) + 4 H+(aq) + 4e– = 2H2O(l) ((1) 1.2. 2Fe(s) + O2(g) + 4 H+(aq) = 2H2O(l) + 2Fe2+(aq) traduit la corrosion du fer 2. Protection par anode « sacrificielle ». 2.1.1. Le zinc constitue le pôle « – »  de la pile. Dans les parties métalliques du circuit, le courant circule du pôle « + » vers le pôle « – ». Les électrons vont dans le sens opposé. 2.1.2. Voir schéma ci-dessus. (La consommation des H+ au niveau de l’électrode de fer crée localement un déficit

candidat que nous aimez le moins? Est-illogique de vendre sa maison aux enchères en retenant pour acquéreur le plus offrant tout en lui faisant payer le second prix? Est-il rationnel qu'un général décide de trancher par un lancer de pièce de monnaie (pile ou face) entre le fait d'attaquer ou de ne pas attaquer? Vous l'aurez deviné, pour toutes ces questions, c'est la réponse qui semble la moins naturelle qui est la bonne. Mais enfin, si cela est aussi sérieux, pourquoi théorie des jeux, pourquoi