Pile

pr´d´cesseur e e Exemple 1. Exemple : casino. • 1`re ´tape : Le joueur peut d´cider de jouer ou non. e e e S’il ne joue pas le jeu s’arrˆte. e Sinon, la nature tire ` pile ou face s’il gagne 1 ou perd 2. a • 2`me ´tape : Le joueur peut d´cider de jouer ou non. e e e S’il ne joue pas le jeu s’arrˆte. e S’il joue, la nature tire a pile ou face s’il gagne 3 ou perd 2 (en plus ` 5 6 ´ ´ 3. THEORIE DE LA DECISION DYNAMIQUE des gains et pertes de la premi`re ´tape). e e On repr´sente ce jeu par

arbres, comme s'ils avaient cherché quelque chose qui aurait pu tomber ou s'envoler. Puis ils comptèrent des pas et enfoncèrent avec grand-peine deux cannes dans le sol gelé. Ils se réunirent ensuite en groupe et ils firent les mouvements du jeu de pile ou face, comme des enfants qui s'amusent.   RÉDACTION Vous racontez, dans votre journal intime, un moment de grande peur qui eut une fin heureuse. Vous ferez alterner récit et expression des sentiments et vous ne manquerez pas d'inclure

est l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire. Définir une variable aléatoire sur E, c’est associer un réel à chaque issue. Exemple : On lance deux fois de suite une pièce de monnaie équilibrée.  On gagne 5€ chaque fois que l’on obtient Pile  On perd 2€ chaque fois que l’on obtient Face On note le gain obtenu. On définit ainsi une variable aléatoire qui prend les valeurs , L’événement ( est constitué des issues suivantes {(P ; F) ; (F ; P)} Définition : Définir une loi de probabilité

définie sur Ω associe à chaque issue, une valeur numérique. Les variables aléatoires que nous étudierons sont des applications (des fonctions) de Ω dans R. Par exemple, au jeu de pile ou face, on peut décider qu’obtenir pile rapporte 1 e, alors qu’obtenir face fait perdre 1 e. On définit alors la variable aléatoire X par : X(pile) = 1 et X(face) = −1, qui donne le gain en euros en fonction du résultat de l’expérience aléatoire. Définitions et notations 1.2 ({X x}, Fonction de répartition) Soit X une variable

premiers participants répondant à nos critères. Les chercheurs doivent s’assurer que dans ce couple l’un deux utilise un cellulaire (groupe A) et dans un autre couple, il n’y a aucune utilisation de cellulaire (groupe B) en tirant une pièce de monnaie (pile ou face). Étape 2 : pendant la recherche L’observateur se mettra dans une position où il peut observer les comportements tout en étant discret à une distance fixe d’environ 5 mètres. Pour passer inaperçu, l’observateur s’occupera en lisant

des étudiants de l’ENSAI - ne pas diffuser, ne pas citer - 1 1.1 Quelques motivations La sentinelle de la tour carrée Lors d’une ronde, une méthode simple pour “tromper l’ennemi” est d’avancer ou reculer de manière aléatoire, en tirant à pile ou face. Comme précédement, si Xn désigne la position du garde à l’instant n, l’évolution peut se modéliser à l’aide d’une matrice de transition, /N/ /E/ /S/ /O/ 0 1/2 0 1/2 N  1/2 0 1/2 0  P = E   S  0 1/2 0 1/2  1/2 0 1/2 0 O 1.2 Le

étudiants de l’ENSAI - ne pas diffuser, ne pas citer - 1 Quelques motivations 1.1 La sentinelle de la tour carrée Lors d’une ronde, une méthode simple pour “tromper l’ennemi” est d’avancer ou reculer de manière aléatoire, en tirant à pile ou face. Comme précédement, si Xn désigne la position du garde à l’instant n, l’évolution peut se modéliser à l’aide d’une matrice de transition, /N/ /E/ /S/ /O/ 0 1/2 0 1/2 N  P = E  1/2 0 1/2 0   S  0 1/2 0 1/2  1/2 0 1/2 0 O

précurseurs La théorie financière a émergé grâce à trois précurseurs qui sont Bernoulli, Bachelier et Fisher. 1738  Bernoulli : Selon lui, la prise de décision peut s’exprimer par une fonction d’utilité de la richesse. L’optique est celui d’un jeu de pile ou face répété, on parle alors d’espérance mathématique du gain1, mais l’espérance est infinie. La plupart des personnes préfèrent choisir la certitude d’un gain à un pari, même si cela pourrait leur rapporter plus : le choix s’explique par la peur

que: P ([X < 5]) = 1/3 ; P ([X > 5]) = 1/2 ; P ([X = 3]) = P ([X = 4]). P ([X = 3]) = P ([X = 4]) = a, P ([X = 5]) = b, P ([X = 6]) = c, avec 2a + b + c = 1, c = 1/2 1 1 et 2a = . Donc a = , c = 1/2 et b = 1 − 2a − b = 1/6. 3 6 2. * On joue a pile ou face avec 2 pi`ces. Soit X le nombre de piles obtenus. D´terminer la loi de X, son ` e e esp´rance et sa variance. e 1 Ω = {(p, p), (p, f ), (f, p), (f, f )}. X(Ω) = {0, 1, 2} avec P ([X = 0]) = P ({(f, f )} = , 4 1 1 P ([X = 1]) =

de 1 obtenus parmi les ��1 , … , ���� ; elle suit la loi binomiale de paramètres ��, �� . Cette loi de probabilité est donnée par ℙ �� = �� = �� ���� �� ��−�� , �� ∈ 0,1, … , �� �� Supposons un individu (ou « particule ») sur un escalier, qui tire à pile ou face pour décider si le prochain pas sera vers le haut ou vers le bas. À chaque étape, il n'y a que deux choix possibles : sur cet exemple, un pas en avant ou un pas en arrière. Notons à l'instant �� ∈ ℕ∗ : Zn = +1 si le marcheur avance d'un pas