Point G

est un triangle, a. et et , alors sont colinéaires b. c. d. Dans le repère B/ Soit , la droite a pour équation , a. La médiane issue de et du triangle a pour équation b. Le point est le centre de gravité du triangle c. Le point a pour coordonnées d. La médiane issue de C/ La droite dans le repère du triangle passant par a pour vecteur directeur et qui a pour vecteur directeur a. A pour équation b. A pour équation c

Durée : 2H EXERCICE 1 : (06 points) 1°) Effectue les opérations suivantes : 1pt ;   1pt . 2°) Ecris sous la forme de puissances entières premières :  1pt ; 1pt . 3°) Rends irréductibles (simplifie) les rationnels suivants, en utilisant le PGCD. 1pt 1pt EXERCICE 2 : (06 points) 1) Construis si possible les points A ; B et C dans chacun des cas suivants : 1er cas : 1pt . 2e cas :

centre O uuuur uuur uuur uuur uuur uuur 1) Construire le point M tel que OM = OA + OD et le point N tel que ON = OB + OC uuuur uuur r 2) Montrer que OM + ON = 0 3) Quelle est la nature du quadrilatère ABNI EXERCICE N°2 Soit ABCD un parallélogramme uuur uuur uuur uuur 1) Construire les points E et F tels que : BE = 2 AB et AF = 3 AD 2) Construire le point G tel que AEGF soit un parallélogramme 3) Démontrer que les points A, C et G sont alignés EXERCICE N°3 r r Le plan est muni d’un repère

l ‘existence du point G barycentre de (A, 5) et (B, -2) . 2) Placer après justification le point G. 3) Déterminer l’ensemble E des points M du plan P tel que =12 et le tracer. 4) Simplifier le vecteur V= 5KA – 2KB + 3 GB, K étant un point du plan P. 5) Déterminer A comme barycentre de B et de G. Exercice 2 : Pour cet exercice, une figure peut permettre de vérifier les résultats mais n’est pas obligatoire. On considère dans le plan munit d’un repère (O ; i, j) les points A (4 ; 1)

raisonnements entreront pour une part e e e e e e e importante dans l’appr´ciation des copies. e Le sujet comporte une annexe a rendre avec la copie. ` Ce sujet n´cessite une feuille de papier millim´tr´e. e e e Exercice 1 - Commun ` tous les candidats (6 points) a Les deux parties de cet exercice sont ind´pendantes. e Partie A On consid`re l’´quation diff´rentielle ÔE Õ : e e e y½   y e ¡x . xe¡x est une solution de 1. Montrer que la fonction u d´finie sur l’ensemble des nombres r´els R par

Homothétie de rapport positif 2012-2013 1. Définition. Soit un point C et un nombre k tel que k  0 L’image d’un point M par l’homothétie de centre C et de rapport k est le point M’ tel que CM '  k  CM Remarque : Puisque k  0 , M ' appartient à la demi-droite [CM) tel que CM’ = k x CM On note : H  C , k  M M' Exemple : Soit M’ l’image de M par H  C , 2  Puisque CM’ = 2 CM, le point M est le milieu de [CM’]. 2. Propriétés. 1. L’homothétie conserve l’alignement, les

1. A(−1; −2), B(3; 0), C(0, 1) et D(−4; −1) ; 2. A(2; 5), B(−1; 4), C(−2, −3) et D(−5; −3) ; Exercice 3 : vecteurs et parall´logramme e On consid`re les points A(−1; 3), B(2; −2) et C(4; −1). e 1. Avec les vecteurs, d´terminer les coordonn´es de D tel e e que ABCD soit un parall´logramme. e On donne les points A(2; 3), B(4; 2), C(1; 3) et D(5; 1). − − → −→ − 1. D´terminer les coordonn´es des vecteurs AB et CD. e e − − → −→ − 2. AB et CD sont-ils colin´aires ?

Définition Considérons, dans l’espace, un solide comme étant constitué d’un ensemble de n points matériels M1, M2, …, Mi, …, Mn, de masse respective dm1, dm2, …, dmi, …, dmn. Ce solide est de volume V. y M1 G O z x Mi Mn Par définition, le centre de gravité de l’ensemble des n points est le point G tel que : ∫ V GM i .dm = 0 G est aussi appelé centre de masse. Pour déterminer la position de G dans le repère (O, x, y, z), il faut mettre cette définition sous une forme plus facile

A 3 kg G B 7 kg Le point d’´quilibre G de cette barre est le point o` s’´quilibrent les forces e u e exerc´es par ces masses ; celui-ci doit ˆtre tel que e e − → − − → 3 GA = −7 GB C’est-`-dire a − → − − → 3 GA + 7 GB = 0 − → AG = − → AB. ce qui se traduit (apr`s calculs) par e 7 10 Cette ´galit´ d´termine parfaitement la position d’´quilibre de la barre. e e e e 1 Barycentres www.mathforu.com 2 D´finitions e Soient (A ; a) et (B ; b) deux points points pond´r´s

−3t3 3t 2  0 t 3 0 OM t = OAi i,n 0 6 6 0 y t  i=0 3 2 3 2 x t  = −4t 12t −12t436t −72t 36t y t  18t 3−36t 218t−18t3 18t 2       { 3. x t = f 1 t =32t −60t 24t4 y t = g 1 t =−18t2 18t 3 2 4. g ' 1 t =−36t18 g ' 1 t =0 ⇒ t 1= 1 2 On rencontre un extremum là où la dérivée s'annule. é T 5. Lorsque t < 0,5 la dérivée est positive, la courbe croit. Lorsque t > 0,5 la dérivée est négative, la courbe décroit. Il s'agit bien