Poisson Miro

aléatoires discrètes Loi Hypergéométrique 27 Loi Hypergéométrique 3) Variables aléatoires discrètes Loi de Poisson Loi utilisée très souvent pour modéliser le nombre d’événement arrivant dans un temps donné T ne dépendant que de la durée de cette période Le nombre moyen d’événement par unité de temps λ. X= nombre d’événement arrivant sur une période T suit une loi de Poisson : 28 X = {0 ,1, 2 , 3 ,... } E ( X )= λ P(X = k) = e −λ λk k! V ( X )= λ 3) Variables aléatoires

service (QoS=Quality of service) de e e e la tranche horaire i est d´finie comme la proportion d’appels ayant abouti au cours de la tranche e horaire i. Question 1. Expliquer pourquoi, dans le cadre des centres d’appels t´l´phoniques, le processus de ee Poisson et la loi exponentielle sont bien adapt´s pour mod´liser respectivement le processus d’arriv´e e e e des clients et le temps de service. Quelles limites voyez-vous ` cette mod´lisation ? On supposera a e par la suite que : – le processus d’arriv´e

. . . . . . . . . . Lois discr`tes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . e 3.5.1 Loi uniforme sur {1, . . . , n} . . . . . . . . 3.5.2 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . 3.5.3 Loi binomiale B(n, p) . . . . . . . . . . . . 3.5.4 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ces deux fonctions et n −1 k a −a e et d’autre part, à l’aide du résultat de permettant d’une part le calcul de la somme ∑ k =0 k ! la question 1a), le calcul et l’affichage du taux de panne à l’instant n d’une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre a > 0, lorsque n et a sont entrés au clavier par l’utilisateur (on supposera n ≥ 1). d) Compléter la déclaration de fonction suivante pour qu’elle renvoie la valeur de a k −a ∑ e à l’appel de sigma(a, n). k =0 k ! Function sigma(a : real

sa loi est k P r(X = k) = Cn pk (1 − p)n−k o` u k Cn = n! . k!(n − k)! et on a E(X) = np et V ar(X) = np(1 − p). Rappel : n ! = n(n − 1)(n − 2) . . . 1 avec 0 ! = 1. Loi de Poisson P(λ) On l’appelle parfois la loi des ´v´nements rares . Une variable e e al´atoire X suit une loi de Poisson P(λ) de param`tre λ > 0 si ses valeurs sont {0, 1, 2, 3, . . .}, e e c’est-`-dire l’ensemble des entiers naturels N et sa loi de probabilit´ est : a e P r(X = k) = λk −λ e . k!

de dés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Loi Binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Loi géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Loi de poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

aléatoires indépendantes équidistribuées. Le flux est alors ce qu’on appelle un processus de renouvellement stationnaire. Le cas le plus simple est celui où la loi commune est la loi exponentielle, le flux d’arrivée est alors un processus de Poisson. b) Un organe de service qui est caractérisé par : 1. Le temps de service : un client qui commence à être servi sera immobilisé pendant un temps aléatoire dont on supposera connue la loi. 2. Le nombre de guichets. c) Une règle de service

Aix-Marseille Université 2009 10 Forme Générale Données Qualitatives Données Quantitatives p chart c chart 2.2 c chart • Distribution – nombre de défaut D par unité de contrôle – nombre d’infection nosocomiale par mois Di → Loi de Poisson, (c ) moy (D ) = c var(D ) = c J Gaudart, LERTIM, Aix-Marseille Université 2009 11 Forme Générale Données Qualitatives Données Quantitatives k p chart c chart • Estimation ∑ Dj – de la moyenne µ: µ D = c = j =1 ˆ ˆ k ˆ ˆ –

a- Processus d’arrivée des clients : L’arrivée des clients est décrite à l’aide d’un processus stochastique de comptage. Ce processus suit une loi de probabilités décrivant l’inter arrivées des clients. En général, ce processus suit une loi de poisson ʎ. b- Temps de service : Le temps de service d’un client est le temps séparant le début et la fin de service de ce client. Ce temps, de sa part, suit une loi de probabilités qui est, en général, une loi exponentielle µ. c- Nombre de

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Loi hypergéométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Loi multinomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .