Poisson rouge

sa loi est k P r(X = k) = Cn pk (1 − p)n−k o` u k Cn = n! . k!(n − k)! et on a E(X) = np et V ar(X) = np(1 − p). Rappel : n ! = n(n − 1)(n − 2) . . . 1 avec 0 ! = 1. Loi de Poisson P(λ) On l’appelle parfois la loi des ´v´nements rares . Une variable e e al´atoire X suit une loi de Poisson P(λ) de param`tre λ > 0 si ses valeurs sont {0, 1, 2, 3, . . .}, e e c’est-`-dire l’ensemble des entiers naturels N et sa loi de probabilit´ est : a e P r(X = k) = λk −λ e . k!

de dés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Loi Binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Loi géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Loi de poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

aléatoires indépendantes équidistribuées. Le flux est alors ce qu’on appelle un processus de renouvellement stationnaire. Le cas le plus simple est celui où la loi commune est la loi exponentielle, le flux d’arrivée est alors un processus de Poisson. b) Un organe de service qui est caractérisé par : 1. Le temps de service : un client qui commence à être servi sera immobilisé pendant un temps aléatoire dont on supposera connue la loi. 2. Le nombre de guichets. c) Une règle de service

Aix-Marseille Université 2009 10 Forme Générale Données Qualitatives Données Quantitatives p chart c chart 2.2 c chart • Distribution – nombre de défaut D par unité de contrôle – nombre d’infection nosocomiale par mois Di → Loi de Poisson, (c ) moy (D ) = c var(D ) = c J Gaudart, LERTIM, Aix-Marseille Université 2009 11 Forme Générale Données Qualitatives Données Quantitatives k p chart c chart • Estimation ∑ Dj – de la moyenne µ: µ D = c = j =1 ˆ ˆ k ˆ ˆ –

LE CONTE D’ ALADIN & LA MER DE CORAIL Il était une fois un très beau jeune homme nommé Aladin. Il se baignait dans la mer de corail avec ses amis la petite sirène Ariel et le poisson clown Nemo. Soudain, Aladin plongea seul dans les profondeurs où l’eau est presque noire. Là, il rencontra Ursula, la vilaine et très laide sorcière des mers. Ursula qui rêvait et attendait son prince charmant, fut immédiatement subjuguer par son charme. Elle tomba amoureuse et décida de garder le jeune homme

2 3 4 5 x 6 7 8 9 10 Distribution de Poisson Représentation d ’une variable de comptage (discrète mais pas de borne supérieure) exp(−λ )λk P( X = k ) = k! Pr( X = 0) = exp(−λ ) Somme de deux lois de Poisson La somme de deux lois de Poisson indépendantes de paramètres λ1 et λ2 est aussi une loi de Poisson de paramètre λ1+ λ2 Pr( X = +∞) = 0 λ est le paramètre de la distribution de Poisson L ’espérance et la variance d ’une distribution de Poisson sont égales à λ Comparaison de la loi

tassement accroissement de contrainte en Pa G en Pa ou daN/mm2 G = O,4 E lt dilatation linéique transversale lo dilatation linéique longitudinale k en Pa p accroissement de pression ou module transversal E G= 2(1 + n ) 8 t Coefficient de Poisson e lo n= e lt p k=q 9 q accroissement de volume / volume de référence Module de compressibilité volumique k 10 11 M MEMENTO RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX M10 1 2 RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX 3/4 CISAILLEMENT – TORSION F1

. . . . . . . . . 7.4 Quelques r´sultats sur quelques lois de probabilit´ usuelles . . . e e 7.4.1 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2 Loi g´om´trique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 7.4.3 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.4 Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.5 Loi gamma et loi du chi-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.6 Loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Convergent, mais il peut être biaisé en échantillon fini. Asymptotiquement efficient, il atteint la borne de Cramer Rao. Asymptotiquement distribué selon une loi normale. Exemple Avec une loi discrète On souhaite estimer le paramètre λ d'une loi de Poisson à partir d'un n-échantillon. L'estimateur du maximum de vraisemblance est : Démonstration La vraisemblance s'écrit : La vraisemblance étant positive, on considère son Logarithme naturel : La dérivée première s'annule quand : La dérivée

……………………………………………...4 3.2. Application et décision…………………………………………..…………………………….…..4 3.3. Ajustements à différentes lois de probabilité connues………………..….6 3.3.1. Ajustement à une loi binomiale …………..…………….…………………….6 3.3.2. Ajustement à une loi de poisson …………..………………………………...6 3.3.3. Ajustement à une loi normale …………..………………………………….….7 4. Test du χ2 d'égalité des distributions…………………………….………....8 4.1. Principe du test…………………………………………..……………………………………….……..8 4.2. Application et décision…………………………………………